Факультативный курс «Параметры в геометрии» для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы.

Больше внимания по сравнению  с традиционными учебниками уделено  методам решения геометрических задач. Система задач дифференцирована по уровням сложности.

Сам автор пишет в  введении: «геометрия- это совсем не математика. Во всяком случае, это совсем не та математика, с которой до сих пор вам приходилось иметь дело. Геометрия- это предмет для тех, кому нравится фантазировать, рисовать и рассматривать картинки, кто умеет наблюдать, замечать и делать выводы.

Геометрия- необычайно важный и интересный предмет, и любой человек может найти в ней уголок по душе». Из такого подхода вытекает относительное обилие задач «на выбор», то есть с геометрическими параметрами.

В учебнике Шарыгина содержатся следующие задачи:

 

 

7 класс.

 

§2.1 Геометрия  прямой линии.

Задача №8. в) На прямой расположены точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7.

Задача №19. Точка В  лежит на отрезке АС, АВ = 2, ВС = 1. Укажите  на прямой АВ все точки М, для которых АМ + ВМ = СМ.

 

§2.2. Основные свойства прямой на плоскости.

Задача №1. На сколько  частей могут разделить плоскость  две прямые?

 

§2.3 Плоские  углы.

Задача №7. б)  Чему может быть равен угол АОС, если угол АОВ = 161^о, угол ВОС = 172^о?

Задача №9.  Чему может быть равен угол АОD, если угол АОВ = , угол BOC = и угол COD = , где: а) = 34^о, = 33^о, = 32^о; б) = 78^о, = 79^о, = 83^о; = 132^о, = 161^о, = 141^о?

 

 

 

§2.4 Плоские  кривые, многоугольники, окружность.

Задача №1.б) В скольких точках прямая может пересечь границу четырёхугольника? (считаем, что прямая не проходит через вершины)

 

 

§3.3 Неравенства  в треугольнике. Касание окружности с прямой и окружностью.

Задача №19. На плоскости  имеются две окружности. Чему равен  радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача?

Задача №22. В вершинах треугольника расположены центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5,6,7. Сколько решений имеет задача?

 

 

§4.4 О решении  геометрических задач.

Задача №4. На прямой расположены  точки АВС и D, при чём АВ = 2, CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Задача №7. Через точку  на прямой а проведены прямые р  и q. Известно, что угол между прямыми а и р равен 2^о, а угол между прямыми а и q равен 80^о. Чему равен угол между прямыми p и q?

  Задача №11. Через  вершины А и С треугольника  АВС проведены прямые, перпендикулярные  биссектрисе угла АВС, пересекающие  прямые СВ и ВА в точках  К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8,   КС = 1.

 

8 Класс.

 

§5.1 Параллельные прямые на плоскости.

Задача №3. На плоскости  изображено несколько многоугольников. Сумма углов этих многоугольников  равна 540^о. сколько и какие многоугольники изображены. (укажите все возможности)?

Задача №11 б) Найдите  равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80^о.

Задача №16 б)  Найдите  углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов  равен 100^о.

Задача №22. Найдите  угла треугольника АВС, если известно, что биссектриса угла А делит  этот треугольник на два равнобедренных треугольника.

Задача №25. Угол АВС = . Чему равен угол КРМ, если прямая РК параллельна ВА, прямая РМ параллельна ВС.

 

§5.2 Измерение  углов связанных с окружностью.

Задача №6. Чему может  быть равен вписанный угол, опирающийся  на хорду, равную радиусу окружности?

Задача №14. Диагонали  четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М, угол АВМ равен 80^о. прямые АВ и CD пересекаются в точке К, при чём угол АКD равен 20^о, а прямые ВC и DA – в точке N, угол АNВ равен 40^о. найдите угла четырёхугольника ABCD. Сколько решений имеет задача?

 

 

§6.1 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Задача №15. О параллелограмме ABCD известно, что угол ABD равен 40^о и что центр окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC.

Задача №18. От параллелограмма  с помощью прямой, пересекающей две  его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма  таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.

 

 

§6.3 Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

Задача №31. а) Две окружности с диаметрами 3 и 5 касаются друг друга в точке А. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую – в точке С. Найдите хорды АВ и АС, если ВС равно .

 

§8.1 Замечательные  точки треугольника.

Задача №10.  В треугольнике АВС угол А равен  , Н – точка пересечения высот. Чему может быть равен угол BHC?

 

§8.7 Задачи для  повторения.

Задача №15. В окружности радиуса  проведена хорда АВ, равная 2. Пусть М – некоторая точка окружности, отличная от А и В. Чему может быть равен угол АМВ?

 

В учебниках содержатся 10, 4 и 23 задачи соответственно, и данный курс можно предложить учащимся, проходящим основной курс геометрии по учебникам Погорелова А. В. и Атанасяна Л.С., так как в этих учебниках не только мало задач, но и в тексте каждой задачи внимание ученика обязательно обращается на то, что решений будет несколько. Поэтому, если такой ссылки нет, ученик даже и на подумает в ходе решения задачи о том ,что, возможно, имеются и другие варианты решения, и, остановившись на  первом, не полностью решит задачу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. разработка факультативного курса «Параметры в геометрии».

Пояснительная записка.

В настоящее время  в математике все больше проникает  далекие от нее отрасли. Без математических знаний не возможно понимание принципов  устройства современной техники, природных явлений, анализ социальных политических экономических и других перемен. Прослеживается влияние математического образования на гуманитарные предметы, так как в процессе математической деятельности учащиеся обучаются таким необходимым методам, как синтез и анализ, индукция и дедукция, классификация и аналогия. В ходе решения задач развивается творческое и теоретическое мышление, а при доказательстве фактов вырабатывается умение формулировать, обосновывать, логически рассуждать.

Факультативные занятия  по математике позволяют расширить и углубить знания по выбранному вопросу. Данный факультатив рассчитан на 8 классы общеобразовательной школы.

Главной целью курса  является:

-расширение кругозора;

-повышение уровня  математической подготовки;

-формирование интереса к предмету;

-развитие творческого  мышления;

-развитие пространственного  мышления;

-развитие самостоятельности  и культуры личности.

 

Требования  к математической подготовке учащихся:

 

Что будут знать После изучения факультативного курса «Параметры в геометрии» учащиеся будут знать, что такое геометрический параметр, как решаются задачи с параметрами в геометрии.

 

Что будут уметь После изучения факультативного курса «Параметры в геометрии» учащиеся будут уметь решать задачи с геометрическими параметрами.

 

 

 

 

§3. Тематическое планирование факультативного курса

№ урока	Тема урока	Количество  школьных часов
1	Знакомство с параметрами  в геометрии, решение простейших задач.	2
2	Решение задач на построение в теме треугольники	2
3	Решение задач на тему окружность	2
4	Решение задач в теме четырёхугольники	2
5	Решение задач в теме четырёхугольники	2
6	Решение задач в теме окружности и т Пифагора	2
7	Решение задач на тему теорема Пифагора	2
8	Решение задачи Дидоны	2

 

 

Структура курса

На первом занятии  проводится лекция, в ходе которой дается понятие параметра, параметра в геометрии, говорится о различии и сходстве геометрического и алгебраического параметров, а так же показывается презентация в PowerPoint, которая приводит простейший пример геометрического параметра (три возможных случая расположения трёх точек на прямой).

На втором занятии  начинается непосредственное решение  задач, причем при этом происходит активное повторение курса 7 класса. Это немаловажно, так как на повторение пройденного курса в начале года отводится очень мало времени (Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б., Саакян С.М. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы по математике, 5-11 классы), а дополнительные часы позволяют учащимся быстрее включиться в работу, а также вспомнить пройденный материал.

С четвертого занятия  решаются задачи с использованием материала  восьмого класса. В ходе занятий  активно используется интегрированная  среда «POWERPOINT». В ней строятся чертежи для решения задач, а некоторые задачи прямо в этой среде и решаются.  Это облегчает работу учителя, так как чертежей много и некоторые из них довольно сложные, поэтому их достаточно трудно воспроизвести на доске. Также можно использовать для самопроверки учеников.

Заканчивается курс решением задачи Дидоны, которая упоминалась на первом вводном занятии. Эта задача решается только на примере прямоугольников для тех групп, которые проходят основной курс по учебнику Погорелова А. В. Другие примеры здесь рассматривать не целесообразно, так как учащиеся еще не знакомы с формулами площадей треугольников, четырехугольников, и др.

Для тех групп, которые  проходят основной курс по учебнику Атанасяна  Л.С. и др. задача Дидоны может быть рассмотрена на примерах треугольников  и четырехугольников.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание  курса

1 занятие  (вводная лекция)

Сам термин «параметр» в  переводе с греческого означает «отмеривающий». Он обычно применяется в сочетании с другими математическими терминами, например, параметр уравнения, параметр неравенства, параметр функции и т.д. Под задачами с параметрами понимаются задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными.

Параметр- переменная величина, значение которой позволяет отличить один элемент некоторого множества от других элементов этого множества.

Под геометрическим параметром мы будем понимать любой элемент  или элементы геометрической фигуры от величины, расположения или взаимного  расположения которых зависит решение задачи, его существование или количество.

Примером одной из первых задач с параметром является знаменитая задача Дидоны. В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген. Эта легенда содержится в поэме «Энеида» римского поэта Публия Вергилия Марона, а также в трактате «Об изопериметрических фигурах» древнегреческого ученого Зенодора, жившего между III в. до н.э. и началом н.э.

Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны.

Что же в этой задаче является параметром? Сформулируем задачу Дидоны в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?». В данном случае параметром выступают не числовые данные, а фигура; при различных значениях этого параметра, то есть при различных фигурах задача будет иметь различные решения.

Математика оперирует  строго определенными понятиями, а  в окружающем нас мире на каждом шагу встречаются сплошные неопределенности, условности. «Если будет дождь, то праздник «День знаний» проходит по программе А, а если дождя не будет, то — по программе Б». Можно ли рассматривать условие «будет - не будет идти дождь» как параметр? Или математике нужны только числовые параметры? Для алгебры — это естественно. Но геометрия включает в себя не только числовые соотношения между фигурами или элементами фигуры, но и геометрические. Следовательно, для геометрии параметрами могут быть и классические «алгебраические» параметры, и сугубо специфические «геометрические» параметры.

В нашем курсе мы будем  рассматривать задачи с геометрическими параметрами, а с некоторыми из них вы уже встречались в прошлом году:

 

 

1. Точки А, В и  С лежат на одной прямой. Известно  что АВ = 12см ВС = 13.5см. Какой может быть длина отрезка АС?

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между  двумя другими. Поскольку речь идет о трех точках, то каждая из них может  лежать между двумя другими, и  потому мы имеем три различных случая.

                                    AC=AB+BC=12+13,5=22,5(см)

 

                                    AC=BC-AB=13,5-12=1,5(см)

 

 

                                    AC=AB-BC=12-13,5=-1,5(см)