Факультативный курс «Параметры в геометрии» для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы.

                                  Отрицательное число не является

                                  решением, так как длина-

                                  положительное число.

Ответ: 22,5см или 1,5см.        

 

 

2. Известно, что  АОВ = 35^о, ВОС = 50^о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

 

 

                        AOC= AOB+ BOC=35^о+50^о=85^o

 

 

 

 

 

                        AOC= BOC- AOB=50^о+35^о=15^o

 

 

 

                        AOC= AOB- BOC=35^о-50^о=-15^o  

                               Отрицательное число не является

                                  решением, так как градусная мера  угла - положительное число.

 

Ответ: 15^o или 85^o.

                                 

Домашнее задание

1) Точки А, В и  С лежат на одной прямой. Известно  что АВ = 10см ВС = 25см. Какой   может быть длина отрезка АС? (ответ: 35см или 15см).

     2)Известно, что  АОВ = 45^о, ВОС = 25^о. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира. (Ответ 70⁰ или 20^о).

 

3) На прямой расположены  точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7.

AD=AC+CB+BD=12+CB

AM=MB B CN=ND

AD=AM+MN+ND=2NM+BC

12+CB=2NM+BC

MN=6

2) AD=AC+CD=5+CD

AM=MB B CN=ND

AD=AM+ND-NM=MB+CN-NM=MD+7+CN-NM=

=7+CD-2NM

5+CD=7+CD-2NM

MN=1

Ответ: 6 или 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 занятие.(задачи в теме треугольники)

(обобщение задач домашнего  задания)

 

1. На прямой, содержащей  отрезок АВ, взята точка С так, что АС=с, АВ=а. Найдите длину отрезка ВС.

 

Решение.

1) Пусть точка А лежит между точками С и В. Тогда по аксиоме измерения отрезков ВС = АВ + АС, откуда ВС = а + с.

2) Пусть точка В лежит между точками А и С. Тогда АС = АВ + ВС и ВС = с - а.

3) Если же точка С лежит между точками А и В, то АВ = АС + ВС и ВС= а - с.

Очевидно, что случаи 2) и 3) несовместимы, поскольку значения длины отрезка ВС будут противоположны, а длина отрезка - число положительное. Таким образом, один из этих случаев не дает ответа.

Ответ: ВС = а + с или ВС = \а – с\.

 

 

2. Луч с выходит  из вершины  (аЬ). Найти (ас), если (аb) = а, (Ьс) = .

решение:           

                                                               

                                 

                                                  

 

 

(ас)=а-                (ас)=а+              (ас)= -а

ответ: /а- / или а+

 

 

 

 

 

 

 

основная часть

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80^о.

решение:

1) пусть 

В=80⁰, тогда С=80⁰,

так как треугольник  АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов  треугольника 180⁰, то

А+ В+ С=180⁰

А+160⁰=180⁰

А=20⁰

2) пусть

А=80⁰, тогда

А+ В+ С=180⁰

В+ С=100⁰

так как 

В= С, поскольку АВС – равнобедренный,

то 

В= С=50⁰

ответ: 20⁰ , 80⁰, и 80⁰ или 50⁰, 50⁰, и 80⁰.

 

 

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из его сторон равна 10, а периметр 26.

1) пусть АВ=10, тогда АС=10,

так как треугольник  АВС - равнобедренный.

Тогда

АВ+АС+ВС=26

ВС=26-10-10=6.

 

2)пусть ВС=10,

тогда

АВ+АС+ВС=26

АВ+АС=16

так как АВ=АС, поскольку 

АВС – равнобедренный,

то АВ=АС=8.

Ответ: 10, 10 и 6 или 8, 8, и 10.

 

 

 

3.Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8,   КС = 1.

 

Дано:

АВС, ABL= LBC,AK BL,CM BL,BM=8,KC=1.

Найти АВ.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВК:

Равнобедренный, так как  ВО - высота

И биссектриса одновременно, следовательно,

АВ=ВК.

Рассмотрим треугольник  ВМС:

Равнобедренный, так как  ВQ - высота

И биссектриса одновременно, следовательно,

ВМ=ВС.

1. допустим, что АВ<BC, тогда

BK=BC=KC=8-1=7

AB=BK=7

               2) допустим, что АВ>BC, тогда

BK=BC=KC=8+1=9

AB=BK=9

 

 

 

Ответ: 7 или 9.

 

 

4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под острым углом а. Найдите углы треугольника. При каких значениях параметра а задача имеет два решения?                       

 

 

Решение. Обозначим угол ВАС через 2х.

 В зависимости от  того, который из углов –

ВЕС или АЕС - принять равным а,

получатся различные  решения.

1) Если  АЕС = а, то х + 2х + а = 180°, откуда

х=60°- и В= 120°— . Но поскольку В<90°,

то а>45°. При этом С= -60°.

 

 

 

2) Если  АЕС = а, то этот угол как внешний для треугольника АЕС равен сумме двух внутренних

углов, не смежных с  ним. То есть а = Зх, а х = .

Тогда В= , С=180°- . Но поскольку

В< 90°, то а < 135°, что уже оговорено в условии задачи (угол а - острый).

Ответ: при а > 45° задача имеет два решения:

  А= В=120°- , С= -60°,

 или  А= В= , С=180°- .

 

Домашняя работа:

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100^о.

решение:

1. пусть внешний угол при вершине А=100⁰,

тогда С+ В=100⁰,

по теореме о внешнем  угле треугольника.

так как треугольник АВС – равнобедренный,

то  В= С=50⁰

В=180⁰-100⁰=80⁰

2) пусть внешний угол при вершине В=100⁰, тогда

  В=80⁰, следовательно, С=80⁰,

так как треугольник  АВС - равнобедренный.

Так как сумма углов  треугольника 180⁰, то

А+ В+ С=180⁰

А+160⁰=180⁰

А=20⁰

ответ: 20⁰ , 80⁰, и 80⁰ или 50⁰, 50⁰, и 80⁰.

 

2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них  равен а.

             если угол В равен а, то  А= С= ,

             Если же  А= С=а, то В=180⁰-2а.

ответ: , и а или 180⁰-2а, 180⁰-2а и а.

 

3. Периметр равнобедренного  треугольника равен Р, одна из его сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника.

решение:

1) пусть АВ=а, тогда  АС=а,

так как треугольник  АВС - равнобедренный.

Тогда АВ+АС+ВС=р, ВС=р-а-а=р-2а.

2)пусть ВС=а, тогда АВ+АС+ВС=р, АВ+АС=р-а

так как АВ=АС, поскольку АВС – равнобедренный,

то АВ-АС= .

Ответ: р-2а, р-2а и а или , , и а.

 

 

 

 

 

 

3 занятие. (задачи в теме окружность)

 

1. Даны две окружности  с общим центром и радиусами 3 и 7. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей.

 

решение:

1. АВ=ОВ-ОА=7-3=4

CВ=

АВ=2.

 

 

 

 

 

 

 

АС=АО+ОС==3+7=10,

МС=

АС=5.

 

 

 

Ответ: 2 или 5.

 

 

2. На плоскости имеются  две окружности. Чему равен радиус  окружности, касающейся данных окружностей  и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если  радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача?

 

Решение:

В каждом пункте может быть 4 возможных расположения третьей окружности относительно двух данных, так как центры данных окружностей не совпадают.

 

 

                                       пусть В-центр окружности            с радиусом 1,

                                             N-центр окружности            с радиусом 3,

Е-радиус искомой окружности.

Тогда

AB=BC=1,ND=MN=3,BN=5.

1) BN=BC+CN,

CN=5-1=4,

CM=CN+NM=4+3=7

EM= CM=3,5.

 

2) BN=BC+CD+DN,

CD=BN-BC-DN=5-1-3=1,

AD=AC+CD=2+1=3,

ED= AD=1,5.

 

 

3) BM=BC+CD+DN,

CD=BM-BC-DN=5-1-3=1

ED= CD=0,5

 

 

4) AM=AB+BN+NM=1+5+3=9

EM= AM=4,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

Б)

Пусть  A-центр окружности

с радиусом 2,

B-центр окружности 

с радиусом 5,

C-искомой окружности.

тогда

AN=AM=2,BD=BK=5,AB=1.

                                1) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KM=KD-DN-NM=10-2-4=4,

CK= KM=2.

                                   

                                    2) CD=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

CD= DN=1. 

 

                                 3) CK=?

DN=DB-BA-AN=5-1-2=2,

KN=DK-DN=10-2=8,

CK= KN=4.

 

 

 

 

 

                                4) CM=?

DM=DN+NM=2+4=6,

CM= DM=3.

 

 

 

 

 

Пусть  A-центр окружности 

с радиусом 3,

B-центр окружности 

с радиусом 4,

C-искомой окружности.

Тогда

AD=AM=3,BN=BK=4,AB=5.

                              1) CN=?

BM=AB-AM=5-3=2,

AN=AB-BN=5-4=1,

MN=AB-BM-AN=5-2-1=2,

CN= MN=1.

                            2) CK=?

KM=KN-NM=8-2=6,

CK= KM=3.

                            3) CD=?

CD=DM-NM=6-2=4,

CD= DM=2.

 

 

                              4) CK=?

DK=DM+NK-NM=6+8-2=12

CD= DK=6.

 

 

 

 

 

Ответ: а) 3,5 или 0,5 или 1,5 или 4,5;

       Б) 1 или 2 или 3 или 4;

        В) 1 или 2 или 3 или 6.

3. В вершинах треугольника расположены  центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиусы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5,6,7. Сколько решений имеет задача?

РЕШЕНИЕ:

Точки касания располагаются  на прямых,

соединяющих центры, то есть на АВ, ВС и АС.

 

1. пусть АС=5, ВС=6, АВ=7

АО=х, тогда

ОС=СР=5-х, ВМ=РВ=7-х, но

СР+РВ=6, 5-х+7-х=6

АО=х=3,СР=5-х=2,РВ=7-х=4.

 

 

2. пусть АС=5, ВС=7, АВ=6

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-6, СО=СР=х-7, но

СО+АО=5, х-7+х-6=5

ВМ=х=9,АО=х-6=3,РВ=Х-7=2.

 

 

3. пусть АС=7, ВС=6, АВ=5

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-5, СО=СР=х-6, но

СО+АО=7,х-7+х-6=7

ВМ=х=9,АО=х-5=4, РВ=Х-6=3.

 

 

4. пусть АС=6, ВС=5, АВ=7