Факультативный курс «Параметры в геометрии» для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы.

ВМ=х, тогда

АМ=АО=х-7, СО=СР=х-5, но

СО+АО=6,х-7+х-5=6

ВМ=х=9,АО=х-7=2, РВ=Х-5=4.

 

ОТВЕТ: 2,3,4 или 2,3,9 или 3,4,9 или 2,4,9.

 

 

домашнее  задание.

 

1. Даны две окружности  с общим центром и радиусами к и К. (к ). Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей.  (Решение аналогично решению задачи в классе.)

Ответ: или .

 

 

2 . На прямой расположены точки А,В,С и D, при чём АВ = 2,

CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей

Решение:

AD=AB+CB+CD=5+CB

AM=MC B BN=ND

AD=AM+MN+ND=2NM+BC

5+CB=2NM+BC

MN=2,5

2) AD=AB+BD=2+BD

AM=MC B BN=ND

AD=AM+ND-NM=MC+BN-NM=MD+3+BN-NM=

=3+BD-2NM

2+BD =3+BD-2NM

MN= .

Ответ: 2,5 или .

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

4 занятие(четырехугольники)

 

1. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами параллелограмма.

параметром в данной задаче является неопределенность, какой  из трех отрезков: АВ, АС или ВС принять за диагональ параллелограмма.

Построение:

3. АС
4. О –середина АС
5. ВО
6. М: М ВО, ВО=ВМ
7. АВ, АМ, ВС, СМ.

Четырехугольник АВСМ параллелограмм по определению. Построение в двух других случаях аналогично первому.

 

2. Биссектриса угла А параллелограмма  АВСD пересекает сторону BC в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15см КС = 9см.

 

решение:

треугольник АВК равнобедренный из равенства 

углов при основании. Следовательно, АВ=ВК=15см.

1. пусть точка К находится между точками В и С,

тогда ВС=ВК+КС=15+9=24(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+24)=78(см)

 

2. пусть точка К находится вне отрезка ВС,

тогда ВС=ВК-КС=15-9=6(см)

Р=2(АВ+ВС)=2(15+6)=42(см)

Ответ: 78см или 42см.

 

3. О параллелограмме ABCD известно что угол ABD равен 40^о и что центры окружностей, описанных около треугольников  ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC.

решение:

так как центры окружностей,

 описанных около  треугольников  ABC и CDA,

 лежат на диагонали BD, то точки

пересечения серединных перпендикуляров 

лежат на BD, получаем, что BD АС,

следовательно, ABCD - ромб или центры окружностей лежат в точке пересечения диагоналей, и тогда ABCD - прямоугольник.

Если ромб, то угол DBC=40⁰, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Если прямоугольник, то угол DBC=50⁰, так как угол АВС=90⁰.

Ответ:   40⁰ или 50⁰.

 

 

 

 

 

Домашняя работа.

 

1. Найдите периметр  параллелограмма, если биссектриса  одного из его углов делит  сторону параллелограмма на отрезки  7см и 14см.

(ответ: 70см или 42см).

 

 

2. От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.

 

 

1. пусть AO=1, AM=2.

MF=MN=DN=DP=AO=1

AD=AM+MN+DN=2+1+1=4=OP=OB

AB=AO+OB=1+4=5

2) пусть AO=2, AM=1.

MF=MN=DN=DP=AO=2

AD=AM+MN+DN=1+2+2=5=OP=OB

AB=AO+OB=2+5=7

 

3) пусть AN=2, AD=1.

MN=MK=KB=CB=AD=1

AB=AN+MN+MK+KB=2+1+1+1=5

4) пусть AN=1, AD=2.

MN=MK=KB=CB=AD=2

AB=AN+MN+MK+KB=1+2+2+2=7

 

5. пусть AN=1, AM=2.

MF=MD=DS=AN=1

AD=AM+MD=2+1=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=1+3+3=7

 

6. пусть AN=2, AM=1.

MF=MD=DS=AN=2

AD=AM+MD=1+2=3=NS=NK=KB

AB=AN+NK+KB=2+3+3=8

Ответ: 4 и 5, или 5 и 7, или 1 и 5, или 2 и 7, или 3 и 7, или3 и 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 занятие(четырехугольники)

 

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.?

решение:

треугольники АКМ и  РОВ- равнобедренные,

из равенства углов  при основании.

Следовательно АК=КМ и ОР=ОВ.

1. пусть , тогда

МК=5х, а КО=2х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=5х+2х+5х

45=12х

х=3,75

МК=5х=18,75 а КО=2х=7.5 

 

2. пусть , тогда

МК=2х, а КО=5х.

АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=2х+5х+2х

45=9х

х=5

МК=5х=25 а КО=2х=10

Ответ: 18,75 и 7.5, или 25 и 10.

 

2. Диагональ трапеции  делит её на два равнобедренных  треугольника. Угол при основании одного из этих треугольников равен 40^о. найти углы трапеции.

Решение:

Очевидно, что в треугольнике ВСК ВК-основание,

Так как  угол С-тупой, в треугольнике АВК 

все углы острые, следовательно 

можно рассмотреть 3 случая:

 

1. АВ=ВК

тогда  КВС= СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА= КВС как внутренние накрест лежащие,

ВКА= ВАК=40⁰, АВК=100⁰.

А=40⁰, В=140⁰, С=100⁰, К=80⁰.

 

 

2) ВК=АК, тогда  КВС= СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА= КВС как внутренние накрест лежащие,

  АВК= ВАК=70⁰.

А=70⁰, В=110⁰, С=100⁰, К=80⁰.

3. АВ=АК, КВС= СКВ=40^о, С=100⁰,

ВКА= КВС как внутренние накрест лежащие,

тогда АВК= ВКА=40⁰, ВАК=100⁰.

А=100⁰, В=80⁰, С=100⁰, К=80⁰.

Получился параллелограмм, а по условию дана

трапеция, значит такого случая быть не может.

 

Ещё одно решение получается, если рассмотреть трапецию, у которой при большем основании один угол острый, а другой – тупой.

ВС=ВК, АВ=ВК. А=40⁰, тогда ВКА=40⁰

ВКА= КВС как внутренние накрест лежащие,

ВКС= С=70⁰.

А=40⁰, В=140⁰, С=70⁰, К=110⁰.

 

Ответ: 40⁰, 140⁰, 100⁰, 80⁰ или 70⁰, 110⁰, 100⁰, 80⁰ или           40⁰, 140⁰, 70⁰, 110⁰.

 

 

 

 

3. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен p и известно, что .

Решение: 1.рассмотрим сначала  случай, когда точка пересечения биссектрис лежит внутри параллелограмма.

 

                                       AB=BE=CF=CD, так как               треугольники ABE и FDC равнобедренные,   

              AD=CD как стороны

                                  параллелограмма, BAD= BEA

             Как внутренние 

              Накрест лежащие при 

                           BC||AB и AC биссектриса.

Пусть EF=х

=AB+BE+FC-EF

=3BE-x=

Отсюда x=

* ^.

AB=BE=

BC=BE+CF-x= .

2.  теперь рассмотрим случай, когда точка пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма.

                      

      

 

 

 

 

 

Здесь решение аналогично предыдущему: AB=BE=CF=CD аналогично.

 Пусть EF=x

=AB+BE+FC+EF

=3BE+x=

Отсюда х=

AB=BE=

BC=BE+CF+x= .

Ответ: если точка  пересечения биссектрис лежит вне параллелограмма, то AB= , BC= ;

если точка пересечения биссектрис - внутри параллелограмма, то AB= _, BC=

 

Домашняя работа:

1. отношение углов А и В, прилежащих к боковой стороне трапеции АВСК, равно 2:3. диагональ АС делит трапецию на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.

 

РЕШЕНИЕ:

, тогда А=2х, В=3х.

так как сумма внутренних односторонних углов

равна 180⁰, то 2х+3х=180⁰, х=36⁰, тогда

А=72⁰, а В=108⁰.

ВАС= ВСА=36⁰, и САК=36⁰.

1. АС=СК  СКА= САК=36⁰, АСК=108⁰

А=72⁰, В=108⁰, С=144⁰, К=36⁰.

2. АС=АК  АСК= АКС=72⁰,

А=72⁰, В=108⁰, С=108⁰, К=72⁰.

3. в случае, когда СК=АК получается параллелограмм.

Ответ: 72⁰, 108⁰, 144⁰, 36⁰ или 72⁰, 108⁰, 108⁰, 72⁰.

 

 

 

2. Боковые стороны трапеции равны 17см и 10см, найти основания трапеции, если известно, что её высота равна 8см, а средняя линия 30см.

 

Решение:

рассмотрим  АВЕ и СРН.

Прямоугольные. По теореме  Пифагора в  АВЕ:

АЕ²=100-64=36,

АЕ=6.

По теореме Пифагора в  СРН:

РН²=289-64=225,

АЕ=15.

ВС=ЕН, так как ВСНЕ- параллелограмм 

(противолежащие стороны  параллельны).

1) МК= (ВС+АР)= (ВС+АЕ+ЕН+НР)=

= (ВС+АЕ+ВС+НР)= (2ВС+6+15)=30

ВС=19,5СМ

АР=40,5СМ

2) МК= (ВС+АР)= (ВС+ЕН+НР-АЕ)=

= (ВС+ВС+НР-АЕ)= (2ВС-6+15)=30

ВС=25,5СМ

АР=34,5СМ

Ответ: 25,5СМ и 34,5СМ или 19,5СМ и 40,5СМ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 занятие( окружность и т Пифагора)

 

1. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3м. и 4м. Найти третью сторону.

 

1) пусть АС=4м, ВС=3м.

по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АВ²=16+9=25

АВ=5

2) пусть АВ=4м, ВС=3м.

по теореме Пифагора в треугольнике АВС:

АС²=16-9=7

АС=

Ответ:5 или 

 

2. Расстояние между центрами двух окружностей равно 10к. Одна из окружностей имеет радиус 5к, вторая — 6к. Прямая пересекает меньшую окружность в точках А и В и касается большей в точке С. Найдите длину хорды АВ, если известно, что АВ = 2 • ВС.

 

решение:

О₁О=10к,О₁М=5к, О₂С=6к

Следовательно, СМ=1к,

а О₁С=4к

по теореме Пифагора

в треугольнике О₁АС:

АС²=25к-16к=9к,

АС=3к,

АВ=6к.

 

 

2.пусть АВ=2х

по теореме Пифагора

в треугольнике О₂ЕВ  

О₂Е²=25к²-х²

О₂Е=

по теореме Пифагора

в треугольнике О₁МО₂ 

О₁М²=100к²-4х²

О₁М=2

О₁М=2О₂Е

СО₁=6к=СМ+МО₁=ЕО₂+МО₁

6к= ЕО₂+МО₁=3О₂Е

О₂Е=2к

х=

к

АВ=2

к.

Ответ: 2

к или 6к.

 

 

3. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки длины 8 и 18. Найдите основания трапеции.

 

решение:

 NC=CE=8, из равенства по гипотенузе и

 катету треугольников NOC и EOC.