Определим точечные интервальные оценки периода  прогноза навигации на притоке  на предыдущую навигацию используя  временной ряд за 10  предшествующих лет.

    Для этого с помощью методов  квадратов  определим  уравнение тренда в  виде линейной формулы:

                                                ,                                         (6)

где       - теоретические (выровненные) уровни ряда;

         t – условное обозначение времени, лет;

         в₀, в₁, – параметры аналитической функции.

         в₀ – параметр уравнения регрессии, который показывает усредненное влияние на результативный признак не учтенных факторов; а₁ – показывает влияние факторного признака на результативный.

    В уравнение тренда необходимо подставить 11-й год дав тем самым точечный прогноз периода навигации на притоке.

    Доверительный интервал  для среднего значения 11-го уровня ряда с 95 % надежности

    Среднее значение 11-го года навигации равно

    Таблица 5.3

Факторными  признаками в нашем случае могут  быть:

• изменение скорости течения реки и как следствие нанос песка, что уменьшает глубину судового хода,
• технические возможности поддержания глубин в судоходном состоянии.

 Нефакторными  признаками (не учтенными факторами)  в нашем случае является:

• изменение климата, т.е. количество осадков,
• температура воздуха,
• уровень влажности и т.д.

         Влияние всех этих признаков  в конечном итоге приведет к изменению глубины судового хода, т.е. к изменению продолжительности периода навигации.

    Не  стоит забывать о том, что если параметры в₁ и в₀ положительны, то увеличение факторных или нефакторных признаков приведет к увеличению результативного признака. Если параметры в₁ и в₀ отрицательны, то их увеличение ведет к уменьшению результативного признака.

    Оценка  параметров уравнения регрессии  осуществляется методом наименьших квадратов (МНК).

    Принцип данного метода заключается в  том, что две величины t (факторный признак) и у (результативный признак) взаимосвязаны между собой, причем показатель у находится в зависимости от показателя t.

    Суть  МНК заключается в следующем: нахождение параметров (в₀, в₁) модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретически полученных по выбранному уравнению регрессии, т.е.  

                                                                          (7) 

    Так как в нашем линейном уравнении  прямая зависимость, то приведенная выше функция примет следующий вид: 

                                                                  (8) 

    Для нахождения параметров в₀ и в₁, при которых функция принимает минимальные значения, частные производные функции приравнивают к нулю и преобразуют полученные уравнения, которые называются нормальными уравнениями МНК для прямой. Отсюда система нормальных уравнений принимает следующий вид:

                                                                             (9) 

где        n – количество уровней ряда;

          t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента

         времени;

          у – уровни эмпирического (фактического) ряда.  

Учитывая, что  t   = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, то 

    n

    Σ   t = n  * (n +1)  =  10 (10+1) = 55

    t =1           2                          2 

    n

    Σ   t ² = n  * (n +1) * (2 * n +1)  =  10 (10+1) * (2 * 10+1)  = 385

    t =1                             6                                         6 

    n

    Σ  y t = 36+48+59+64+73+35+49+51+59+62=536

    t =1              
 

    Необходимо  теперь найти с помощью МНК  параметры линейного тренда для динамического ряда (табл. 5.1). Для того чтобы представленные нами расчеты выглядели наглядно и менее громоздко представим их в виде табл. 5.3.

      n

      Σ  y t * t =  36*1 + 48*2 + 59*3 + 64*4 + 73*5 + 35*6 + 49 *7+ 51*8+ 59*9+

    t =1                  +62*10 = 3042

                                                                                                               Таблица 5.4

    Расчет  теоретических уровней линейного  тренда

    Приняв  в качестве гипотетической функции теоретических уровней прямую определим параметры последней, для чего решим систему нормальных уравнений, в которую подставлены найденные в итоговой (последней) строке табл.5.4 суммы:

    

      

Отсюда  параметры в₁ и в₀ будут равны:

     ;        

Таким образом, искомое уравнение тренда будет иметь вид:

                                                  

    Подставляя  в полученное уравнение значения t, определяем теоретические уровни ряда динамики.

      Далее необходимо произвести точечный прогноз продолжительности навигации на 11 год, для чего нужно в полученное уравнение тренда вместо t подставить 11:

                                    

    Временной ряд длительности периодов с гарантированными глубинами за 11 лет – линия тренда с точечным прогнозом представлен в Приложении 2. 
 

6. Интервальные оценки  путевых условий  на притоке

Прогноз среднего и индивидуального  значений уровня ряда

       Среднее значение продолжительности  периода с гарантированными глубинами  на притоке определяется по  формуле  средней  арифметической:

    Интервальная  оценка прогноза среднего значения находится  в следующих пределах:                                   

                         ŷ = ∑yi /n,                              

где    yi – продолжительность периода с гарантированными глубинами на 

               притоке в  i - ом году, сут.;

          n – количество лет.

ŷ = 535,7 /10 = 54 сут. 
 

Определение интервального прогноза

    Цель  исследования на основе временных рядов  сделать прогноз о развитии процесса не предстоящий промежуток времени.

    Этот  прогноз базируется:

    - на продлении;

    - на будущее тенденции  наблюдавшейся  в прошлом.

    Прогноз делается на основе  интервальной оценки прогноза среднего значения.

    Теперь  найдем доверительный интервал для  среднего значения 11 уровня ряда с 95 процентами надежности прогноза, используя критерий Стьюдента.

    Интервальная  оценка прогноза среднего значения находится  в следующих пределах: 

                 

,                     (10) 

где        t_{1-α // n-k} – табличное значение критерия Стьюдента;

          1-α – надежность прогноза, % (95 %);

          n-k – количество степеней свободы;

          k – количество ограничений степеней свобод (k = 2, т.к. функция является уравнением прямой);

          S_ŷ – оценка среднеквадратического отклонения групповой средней;

          t_пр – время прогноза, лет.

    Таким образом, так как данные приведены  в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию. В нашем случае необходимо определить дисперсию групповой средней.

                                       ,                                    (11) 

где           S² – оценка дисперсии возмущений;

            - среднее время прогноза, лет.

                                                                                            (12) 

    Подставив в формулу  значение суммы квадратов  отклонений из табл. 5.4, получим оценку дисперсии возмущений:

 

Среднее время прогноза составляет 5,5 лет, т.к.