Шпаргалка по "Гидравлике"

28. Случаи, когда массовых сил несколько

 

    В этом случае усложним задачу. Пусть  на частицы жидкости действуют следующие  силы: сила тяжести; центробежная сила инерции (переносит движение от центра); кориолисовая сила инерции, которая  заставляет частицы вращаться вокруг оси Z с одновременным поступательным движением.

    В этом случае мы получили возможность  представить себе винтовое движение. Вращение происходит с угловой скоростью w. Нужно представить себе криволинейный  участок некоторого потока жидкости, на этом участке поток как бы вращается  вокруг некоторой оси с угловой скоростью.

    Частным случаем такого потока можно считать  гидравлическую струю. Вот и рассмотрим элементарную струйку жидкости и  применим в отношении к ней  уравнение Бернулли. Для этого  поместим элементарную гидравлическую струю в координатную систему XYZ таким образом, чтобы плоскость YOX вращалась вокруг оси O_Z.

    Будем считать, что U – местная скорость жидкости во вращающейся плоскости YOX. Пусть

    Fx₁= Fy₁= 0; Fz₁=–g –

    составляющие  силы тяжести (то есть ее проекции на оси  координат), отнесенные к единичной массе жидкости. К этой же массе приложена вторая сила – сила инерции ω²r, где r – расстояние от частицы до оси вращения ее компоненты.

    Fx₂= ω²x; Fy₂= ω²y; Fz₂= 0

    из-за того, что ось OZ «не вращается». 

    Окончательно  уравнение Бернулли. Для рассматриваемого случая:

    

    Или, что одно и то же, после деления  на g

    

    Если  рассмотреть два сечения элементарной струйки, то, применив вышеуказанный  механизм, легко убедиться, что

    

 

    где z₁, h₁, U₁, V₁, z₂, h₂, U₂, V₂ – параметры соответствующих сечений

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

 

    Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, которая невязкая, несжимаемая.

    И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давления, тогда  уравнение Бернулли имеет вид:

    

    Теперь  требуется идентифицировать каждое из слагаемых. Потенциальная энергия положения Z – это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую потенциальную энергию MgZ. Тогда

    

 

    Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения.

    Движущаяся  частица с массой Ми скоростью u имеет  вес MG и кинематическую энергию U2/2g. Если соотнести кинематическую энергию  с единичной массой, то

    

 

    Полученное  выражение есть не что иное, как  последнее, третье слагаемое в уравнении  Бернулли. Следовательно, U²/ 2 – это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:

    1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/ρ + U²/ 2;

    2) если полная энергия соотнесена с единичным объемом, то ρgz + p + pU²/ 2;

    3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то полная энергия есть сумма z + p/ρg + U²/ 2g. Не следует забывать, что удельная энергия определяется относительно плоскости сравнения: эта плоскость выбирается произвольно и горизонтально. Для любой пары точек, произвольно выбранной из потока, в котором установившееся движение и который движется потенциальноовихрево, а жидкость невязко-несжимаемая, суммарная и удельная энергия одинаковы, то есть распределены по потоку равномерно.

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли

 

    Основу  теоретической части такой интерпретации  составляет гидравлическое понятие  напор, которое принято обозначать буквой Н, где

    

 

    Гидродинамический напор Н состоит из следующих  разновидностей напоров, которые входят в формулу (198) как слагаемые:

    1) пьезометрический напор, если в (198) p = p_изг, или гидростатический, если p ≠ p_изг;

    2) U²/2g – скоростной напор.

    Все слагаемые имеют линейную размерность, их можно считать высотами. Назовем  эти высоты:

    1) z – геометрическая высота, или высота по положению;

    2) p/ρg – высота, соответствующая давлению p;

    3) U²/2g – скоростная высота, соответствующая скорости.

    Геометрическое  место концов высоты Н соответствует  некоторой горизонтальной линии, которую  принято называть напорной линией или  линией удельной энергии.

    Точно так же (по аналогии) геометрические места концов пьезометрического  напора принято называть пьезометрической линией. Напорная и пьезометрическая линии расположены друг от друга  на расстоянии (высоте) p_атм/ρg, поскольку p = p_изг + pат, т. е.

    

    Отметим, что горизонтальная плоскость, содержащая напорную линию и находящаяся  над плоскостью сравнения, называется напорной плоскостью. Характеристику плоскости при разных движениях  называют пьезометрическим уклоном J_п, который показывает, как изменяется на единице длины пьезометрический напор (или пьезометрическая линия):

    

 

    Пьезометрический  уклон считается положительным, если он по течению струйки (или потока) уменьшается, отсюда и знак минус  в формуле (3) перед дифференциалом. Чтобы J_п остался положительным, должно выполняться условие

    

31. Уравнения движения вязкой жидкости

 

    Для получения уравнения движения вязкой жидкости рассмотрим такой же объем  жидкости dV = dxdydz, который принадлежит  вязкой жидкости (рис. 1).

    Грани этого объема обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6.

    

 

    Рис. 1. Силы, действующие на элементарный объем вязкой жидкости в потоке

    Будем считать, что для любой точки  жидкости

    τ_xy= τ_yx; τ_xz= τ_zx; τ_yz= τ_zy. (1)

    Тогда из шести касательных напряжений остается только три, поскольку попарно они равны. Поэтому для описания движения вязкой жидкости оказываются достаточными всего шесть независимых компонентов:

    p_xx, p_yy, p_zz, τ_xy(или τ_yx), τ_xz(τ_zx), τ_yz(τ_zy). 

    

 

    Аналогичное уравнение легко можно получить для осей O_Y и O_Z; объединив все три уравнения в систему, получим (предварительно разделив на ρ)

    

 

    Полученную  систему называют уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях .

32. Деформация в движущейся вязкой жидкости

 

    В вязкой жидкости имеются силы трения, в силу этого при движении один слой тормозит другой. В итоге возникает сжатие, деформация жидкости. Из-за этого свойства жидкость и называют вязкой.

    Если  вспомнить из механики закон Гука, то по нему напряжение, которое возникает  в твердом теле, пропорционально  соответствующей относительной деформации. Для вязкой жидкости относительную деформацию заменяет скорость деформации. Речь идет об угловой скорости деформации частицы жидкости dΘ/dt, которую поодругому называют скоростью деформации сдвига. Еще Исааком Ньютоном установлена закономерность о пропорциональности силы внутреннего трения, площади соприкосновения слоев и относительной скорости слоев. Также им был установлен

    

    коэффициент пропорциональности динамической вязкости жидкости.

    Если  выразить касательное напряжение через  его компоненты, то

    

    А что касается нормальных напряжений (τ –это касательная составляющая деформации), которые зависимы от направления  действия, то они зависят также  от того, к какой площади они  приложены. Это их свойство называют инвариантностью.

    Сумма значений нормальных напряжений

    

 

    Чтобы окончательно установить зависимость  между pudΘ/dt через зависимость между  нормальными

    (p_xx,p_yy, p_zz) и касательными (τ_xy= τ_yx; τ_yx= τ_xy; τ_zx= τ_xz), представив из (3)

    p_xx= –p + p′_xx, (4)

    где p′_xx– добавочные нормальные напряжения, которые и зависят от направления воздействия, по

    аналогии  с формулой (4) получим:

    

 

    Сделав  то же самое для компонентов p_yy, p_zz, получили систему.

33. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости

 

    Элементарная  струйка при установившемся движении вязкой жидкости

    Уравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вывода, поскольку его  вывод сопряжен с применением  некоторых операций, приведение которых  усложнило бы текст)

    

 

    Потеря  напора (или удельной энергии) h_Пp – результат того, что часть энергии превращается из механической в тепловую. Поскольку процесс необратим, то имеет место потеря напора.

    Этот  процесс называется диссипацией  энергии.

    Другими словами, h_Пp можно рассматривать как разность между удельной энергией двух сечений, при движении жидкости от одного к другому происходит потеря напора. Удельная энергия – это энергия, которую содержит единичная масса.

    Поток с установившимся плавно изменяющемся движением. Коэффициент  удельной кинематической энергии Х

    Для того, чтобы получить уравнение Бернулли в этом случае, приходится исходить из уравнения (1), то есть из струйки  надо переходить в поток. Но для этого  нужно определиться, что представляет собой энергия потока (которая состоит из суммы потенциальной и кинематической энергий) при плавно изменяющемся потоке

    Разберемся  с потенциальной энергией: при  плавном изменении движения, если поток установившийся

    

 

    Окончательно при рассматриваемом движении давление по живому сечению распределено согласно гидростатическому закону, т. е.

    

    где величину Х называют коэффициентом  кинетической энергии, или коэффициентом  Кориолиса.

    Коэффициент Х всегда больше 1. Из (4) следует:

    

34. Гидродинамический удар. Гидро– и пьезо– уклоны

 

    В силу плавности движения жидкости для  любой точки живого сечения потенциальная  энергия Еп = Z + p/ρg. Удельная кинетическая Еk= Xυ²/2g. Поэтому для сечения 1–1 полная удельная энергия