Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Января 2012 в 18:09, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы по дисциплине "Гидравлика".
2) неравномерное, когда ни один из перечисленных для равномерного движения факторов не выполняется, в том числе и условие параллельности линий токов.
Существует плавно изменяющееся движение, которое все же считают неравномерным движением; при таком движении предполагают, что линии тока примерно параллельны, и все остальные изменения происходят плавно. Поэтому, когда направление движения и ось ОХ сонаправлены, то пренебрегают некоторыми величинами
Ux ≈ U; Uy = Uz = 0. (1)
Уравнение неразрывности (1) для плавно изменяющегося движения имеет вид:
аналогично для остальных направлений.
Поэтому такого рода движение называют равномерным прямолинейным;
3) если движение нестационарное или неустановившееся, когда местные скорости с течением времени изменяются, то в таком движении различают следующие разновидности: быстро изменяющееся движение, медленно изменяющееся движение, или, как часто его называют, квазистационарное.
Давление разделяют в зависимости от количества координат в описывающих его уравнениях, на: пространственное, когда движение трехмерное; плоское, когда движение двухмерное, т. е. Uх, Uy или Uz равна нулю; одномерное, когда движение зависит только от одной из координат.
В заключение отметим следующее уравнение неразрывности для струйки, при условии, что жидкость несжимаемая, т. е. ρ= const, для потока это уравнение имеет вид:
Q
= υ1ω1= υ2
где υiωi – скорость и площадь одного и того же сечения с номером i.
Уравнение (3) называют уравнением неразрывности в гидравлической форме.
Уравнение Эйлера служит одним из фундаментальных в гидравлике, наряду с уравнением Бернулли и некоторыми другими.
Изучение гидравлики как таковой практически начинается с уравнения Эйлера, которое служит исходным пунктом для выхода на другие выражения.
Попробуем вывести это уравнение. Пусть имеем бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен жидкостью и движется как составная часть потока. Какие силы действуют на выделенный объект? Это силы массы и силы поверхностных давлений, которые действуют на dV = dxdydz со стороны жидкости, в которонаходится выделенный dV. Как силы массы пропорциональны массе, так и поверхностные силы пропорциональны площадям, на которые оказывается давление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по нормали. Определим математическое выражение этих сил.
Назовем, как и при получении уравнения неразрывности, грани параллелепипеда:
1, 2 – перпендикулярные к оси ОХ и параллельные оси ОY;
3, 4 – перпендикулярные к оси OY и параллельные оси ОХ;
5, 6 – перпендикулярные к оси OZ и параллельные оси ОХ.
Теперь нужно определить, какая сила приложена к центру масс параллелепипеда.
Сила, приложенная к центру массы параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма найденных сил, то есть
Получили уравнение движения параллелепипеда с dV1 по направлению оси Х.
Делим (1) на массу ρdxdydz:
Полученная система уравнений (2) есть искомое уравнение движения невязкой жидкости – уравнение Эйлера.
К
трем уравнениям (2) добавляются еще
два уравнения, поскольку неизвестных
пять, и решается система из пяти
уравнений с пятью
Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных.
Уравнение Эйлера для разных состояний имеет разные формы записи. Поскольку само уравнение получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев:
1) движение неустановившееся.
2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0.
В
таком случае уравнение Эйлера превращается
в уравнение равномерной
3) жидкость невязкая. Для такой жидкости уравнение движения имеет вид
где Fl – проекция плотности распределения сил массы на направление, по которому направлена касательная к линии тока;
dU/dt – ускорение частицы
Подставив U = dl/dt в (2) и учтя, что (∂U/∂l)U = 1/2(∂U2/∂l), получим уравнение.
Мы привели три формы уравнения Эйлера для трех частных случаев. Но это не предел. Главное – правильно определить уравнение состояния, которое содержало хотя бы один неизвестный параметр.
Уравнение Эйлера в сочетании с уравнением неразрывности может быть применено для любого случая.
Уравнение состояния в общем виде:
Таким образом, для решения многих гидродинамических задач оказывается достаточно уравнения Эйлера, уравнения неразрывности и уравнения состояния.
С помощью пяти уравнений легко находятся пять неизвестных: p, Ux, Uy, Uz, ρ.
Невязкую жидкость можно описать и другим уравнением
Уравнения Громеки – попросту другая, несколько преобразованная форма записи уравнения Эйлера.
Например, для координаты x
Чтобы его преобразовать, используют уравнения компонентов угловой скорости для вихревого движения.
Преобразовав точно так же y-вую и z-вую компоненту, окончательно приходим к форме Громеко уравнения Эйлера
Уравнение Эйлера было получено российским ученым Л. Эйлером в 1755 г., и преобразовано в вид (2) опять же российским ученым И. С. Громекой в 1881 г
Уравнение Громеко (под воздействием массовых сил на жидкость):
Поскольку
– dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, (4)
то для компонентов Fy, Fz можно вывести те же выражения, что и для Fx, и, подставив это в (2), прийти к (3).
Уравнение Громеки подходит для описания движения жидкости, если компоненты функции движения содержат какуююто вихревую величину. Например, эта вихревая величина содержится в компонентах ωx, ωy,ωz угловой скорости w.
Условием того, что движение является установившимся, является отсутствие ускорения, то есть условие равенства нулю частных производных от всех компонентов скорости:
Если теперь сложить
то получим
Если проецировать перемещение на бесконечно малую величину dl на координатные оси, то получим:
dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)
Теперь помножим каждое уравнение (3) соответственно на dx, dy, dz, и сложим их:
Предположив, что правая часть равна нулю, а это возможно, если вторая или третья строки равны нулю, получим:
Нами получено уравнение Бернулли
это уравнение есть не что иное, как уравнение линии тока при установившемся движении.
Отсюда следуют выводы:
1) если движение установившееся, то первая и третья строки в уравнении Бернулли пропорциональны.
2) пропорциональны строки 1 и 2, т. е.
Уравнение (2) является уравнением вихревой линии. Выводы из (2) аналогичны выводам из (1), только линии тока заменяют вихревые линии. Одним словом, в этом случае условие (2) выполняется для вихревых линий;
3) пропорциональны соответствующие члены строк 2 и 3, т. е.
где а – некоторая постоянная величина; если подставить (3) в (2), то получим уравнение линий тока (1), поскольку из (3) следует:
ωx= aUx; ωy= aUy; ωz= aUz. (4)
Здесь следует интересный вывод о том, что векторы линейной скорости и угловой скорости сонаправлены, то есть параллельны.
В более широком понимании надо представить себе следующее: так как рассматриваемое движение установившееся, то получается, что частицы жидкости движутся по спирали и их траектории по спирали образуют линии тока. Следовательно, линии тока и траектории частиц – одно и то же. Движение такого рода называют винтовым.
4) вторая строка определителя (точнее, члены второй строки) равна нулю, т. е.
ωx= ωy= ωz= 0. (5)
Но отсутствие угловой скорости равносильно отсутствию вихревости движения.
5) пусть строка 3 равна нулю, т. е.
Ux = Uy = Uz = 0.
Но это, как нам уже известно, условие равновесия жидкости.
Анализ уравнения Бернулли завершен.
Во всех случаях требуется определить математическую формулу потенциальной функции, которая входит в уравнение Бернулли: но эта функция имеет разные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от того, какие массовые силы действуют на рассматриваемую жидкость. Поэтому рассмотрим две ситуации.
Одна массовая сила
В этом случае подразумевается сила тяжести, которая выступает в качестве единственной массовой силы. Очевидно, что в этом случае ось Z и плотность распределения Fz силы Ппротивонаправлены, следовательно,
Fx = Fy = 0; Fz = –g.
Поскольку – dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, то – dП = Fzdz,окончательно dП = –gdz.
Интегрируем полученное выражение:
П = –gz + C, (1)
где С – некоторая постоянная.
Подставив (1) в уравнение Бернулли, имеем выражение для случая воздействия на жидкость только одной массовой силы:
Если разделить уравнение (2) на g (поскольку оно постоянное), то
Мы получили одну из самых часто применяемых в решении гидравлических задач формул, поэтому следует ее запомнить особенно хорошо.
Если требуется определить расположение частицы в двух разных положениях, то выполняется соотношение для координат Z1 и Z2, характеризующие эти положения
Можно переписать (4) в другой форме