Шпаргалка по "Гидравлике"

    1. Неустановившееся движение, которое так называется иззза того, что местные скорости в рассматриваемых точках выбранной области по времени изменяются. Такое движение полностью описывается системой уравнений.

    2. Установившееся движение: поскольку при таком движении местные скорости не зависят от времени и постоянны:

    u_x = u_x(x,y,z)

    u_y = u_y(x,y,z)

    u_z = u_z(x,y,z)

    Линии тока и траектории частиц совпадают, а дифференциальное уравнение для  линии тока имеет вид:

    

 

    Совокупность  всех линий тока, которые проходят через каждую точку контура потока, образует поверхность, которую называют трубкой тока. Внутри этой трубки движется заключенная в ней жидкость, которую называют струйкой.

    Струйка считается элементарной, если рассматриваемый  контур бесконечно мал, и конечной, если контур имеет конечную площадку.

    Сечение струйки, которое нормально в  каждой своей точке к линиям тока, называется живым сечением струйки. В зависимости от конечности или бесконечной малости, площадь струйки принято обозначать, соответственно, ω и dω.

    Некоторый объем жидкости, который проходит через живое сечение в единицу  времени, называют расходом струйки Q.

16. Вихревое движение

 

    Особенности видов движения, рассматриваемых  в гидродинамике.

    Можно выделить следующие виды движения.

    Неустановившееся, по поведению скорости, давления, температуры  и т. д.; установившееся, по тем же параметрам; неравномерное, в зависимости от поведения тех же параметров в живом сечении с площадью; равномерное, по тем же признакам; напорное, когда движение происходит под давлением p > p_атм, (например, в трубопроводах); безнапорное, когда движение жидкости происходит только под действием силы тяжести.

    Однако  основными видами движения, несмотря на большое количество их разновидностей, являются вихревое и ламинарное движения.

    Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называют вихревым движением.

    Это движение жидкой частицы характеризуется  угловой скоростью, компонентами (составляющими), которой являются:

    

    Вектор  самой угловой скорости всегда перпендикулярен  плоскости, в которой происходит вращение.

    Если  определить модуль угловой скорости, то

    

 

    Удвоив  проекции на соответствующие координаты оси ω_x, ω_y, ω_z, получим компоненты вектора вихря

    θ = 2ω.

    Совокупность  векторов вихря называется векторным  полем.

    По  аналогии с полем скоростей и  линией тока, существует и вихревая линия, которая характеризует векторное поле.

    Это такая линия, у которой для  каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к  этой линии.

    Линия описывается следующим дифференциальным уравнением:

    

 

    в котором время t рассматривается  как параметр.

    Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока.

    Вихревое  движение называют также турбулентным.

17. Ламинарное движение

 

    Это движение, называют также потенциальным (безвихревым) движением.

    При таком движении отсутствует вращение частиц вокруг мгновенных осей, которые проходят через полюсы жидких частиц. По этой причине:

    υ_x = 0; υ_y = 0; υ_z = 0. (1)

    ω_x = ω_y = ω_z = 0.

    Выше  отмечалось, что при движении жидкости происходит не только изменение положения  частиц в пространстве, но и их деформация по линейным параметрам. Если рассмотренное выше вихревое движение является следствием изменения пространственного положения жидкой частицы, то ламинарное (потенциальное, или безвихревое) движение является следствием деформационных явлений линейных параметров, например, формы и объема.

    Вихревое  движение определялось направлением вихревого  вектора

    

 

    где υ – угловая скорость, которая  является характеристикой угловых  деформаций.

    Деформацию  этого движения характеризируют  деформацией этих компонентов

    

 

    Но, поскольку при ламинарном движении υ_x=υ_y= υ_z= 0, то:

    

 

    Из  этой формулы видно: поскольку существуют частные производные, связанные  между собой в формуле (4), то эти  частные производные принадлежат  некоторой функции.

18. Потенциал скорости и ускорение при ламинарном движении

 

    φ = φ(x, y, z) (1)

    Функция φ называется потенциалом скорости.

    С учетом этого, компоненты φ выглядят следующим образом:

    

 

    Формулой (1) описывается неустановившееся движение, поскольку она содержит параметр t.

    Ускорение при ламинарном движении

    Ускорение движения жидкой частицы имеет вид:

    

 

    где du/dt – полные производные по времени.

    Ускорение можно представить в таком  виде, исходя из

    

 

    Составляющие  искомого ускорения

    

 

    Формула (4) содержит в себе информацию о полном ускорении.

    Слагаемые υu_x/υt, υu_y/υt, υu_z/υt, называют местными ускорителями в рассматриваемой точке, которыми характеризуются законы изменения поля скоростей.

    Если  движение установившееся, то

    

 

    Само  поле скоростей может быть названо  конвекцией. Поэтому остальные части  сумм, соответствующие каждой строке (4), называют конвективными ускорениями. Точнее, проекциями конвективного ускорения, которое характеризует неоднородность поля скоростей (или конвекций) в конкретный момент времени t.

    Само  полное ускорение можно назвать  некоторой субстанцией, которая является суммой проекций

    du_x/dt, du_y/dt, du_z/dt,

19. Уравнение неразрывности жидкости

 

    Довольно  часто при решении задач приходится определять неизвестные функции  типа:

    1) р = р (х, у, z, t) – давление;

    2) n_x(х, у, z, t), ny(х, у, z, t), n_z(х, у, z, t) – проекции скорости на оси координат х, у, z;

    3) ρ (х, у, z, t) – плотность жидкости.

    Эти неизвестные, всего их пять, определяют по системе уравнений Эйлера.

    Количество  уравнений Эйлера всего три, а  неизвестных, как видим, пять. Не хватает  еще двух уравнений для того, чтобы определить эти неизвестные. Уравнение неразрывности является одним из двух недостающих уравнений. В качестве пятого уравнения используют уравнение состояния сплошной среды.

    

 

    Формула (1) является уравнением неразрывности, то есть искомое уравнение для общего случая. В случае несжимаемости жидкости ∂ρ/dt = 0, поскольку ρ = const, поэтому из (1) следует:

    

 

    поскольку эти слагаемые, как известно из курса  высшей математики, являются скоростью  изменения длины единичного вектора  по одному из направлений X, Y, Z.

    Что касается всей суммы в (2), то она выражает скорость относительного изменения  объема dV.

    Это объемное изменение называют пооразному: объемным расширением, дивергенцией, расхождением вектора скоростей.

    Для струйки уравнение будет иметь вид:

    

 

    где Q – количество жидкости (расход);

    ω–  угловая скорость струйки;

    ∂l – длина элементарного участка  рассматриваемой струйки.

    Если  давление установившееся или площадь  живого сечения ω = const, то ∂ω /∂t = 0, т. е. согласно (3),

    ρ∂Q/∂l = 0, следовательно,

    

20. Характеристики потока жидкости

 

    В гидравлике потоком считают такое  движение массы, когда эта масса  ограничена:

    1) твердыми поверхностями;

    2) поверхностями, которые разделяют разные жидкости;

    3) свободными поверхностями.

    В зависимости от того, какого рода поверхностями  или их сочетаниями ограничена движущаяся жидкость, различают следующие виды потоков:

    1) безнапорные, когда поток ограничен сочетанием твердой и свободной поверхностей, например, река, канал, труба с неполным сечением;

    2) напорные, например, труба с полным сечением;

    3) гидравлические струи, которые ограничены жидкой (как мы увидим позже, такие струйки называют затопленными) или газовой средой.

    Живое сечение и гидравлический радиус потока. Уравнение неразрывности в гидравлической форме

    Сечение потока, с которого все линии тока нормальны (т. е. перпендикулярны), называется живым сечением.

    Чрезвычайно важное значение имеет в гидравлике понятие о гидравлическом радиусе

    

 

    Для напорного потока с круглым живым сечением, диаметром d и радиусом r₀, гидравлический радиус выражается

    

 

    При выводе (2) учли

    

 

    Расход  потока – это такое количество жидкости, которое проходит через  живое сечение за единицу времени.

    Для потока, состоящего из элементарных струек, расход:

    

 

    где dQ = dω – расход элементарного  потока;

    U–  скорость жидкости в данном  сечении.

    Q = uw.

21. Разновидность движения

 

    В зависимости от характера изменения  поля скоростей различают следующие  виды установившегося движения:

    1) равномерное, когда основные характеристики потока – форма и площадь живого сечения, средняя скорость потока, в том числе по длине, глубине потока (если движение безнапорное), – постоянны, не изменяются; кроме того, по всей длине потока вдоль линии тока местные скорости одинаковы, а ускорений вовсе нет;