Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Декабря 2010 в 20:36, реферат
Целью данной работы является рассмотрение образующих элементов в различных группах, а также описание того, как ведут себя образующие элементы и системы образующих в тех или иных группах.
А для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи:
— рассмотрение основных определений группы: алгебраической операции, понятие группы, циклической группы
— определение сущности понятия образующих элементов
— рассмотрение систем образующих элементов
— введение понятия непорождающих элементов
— анализ поведения образующих элементов в различных группах
— рассмотрение графического описания групп и др.
ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. ГРУППЫ И ИХ ОБРАЗУЮЩИЕ 5
1.1. Основные понятия группы 5
1.1.1. Алгебраическая операция 5
1.1.2. Группа 6
1.2. Образующие элементы группы. Система образующих 13
1.2.1. Понятие образующего элемента 13
1.2.2. Система образующих. Конечное число образующих 14
1.2.3. Непорождающие элементы 19
1.3. Циклические группы 21
1.3.1. Подгруппа, порожденная данным элементом данной группы. Определение циклической группы 21
ГЛАВА 2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУПП 26
2.1. Граф группы 27
2.1.1. Бесконечная циклическая группа 30
2.1.2. Группа с двумя образующими 31
2.2. Основные свойства графа группы 33
ЛИТЕРАТУРА 38
Любое
слово, представляющее
элемент I, соответствует
замкнутому пути на
графе. Предположим, что W — слово,
представляющее элемент I. Например,
в группе самосовмещений равностороннего
треугольника за W можно взять frfr.
Если принять вершину, соответствующую
элементу I, за начальную точку, то
путь, определяемый словом W, окончится
в I-вершине. Мы называем путь замкнутым,
если его начальная и конечная точки совпадают.
Если за начальную точку взята вершина,
соответствующая элементу t, отличному
от I, то путь, заданный словом W,
окончится в t-вершине, так как tW
— t. Таким образом, если W — слово,
представляющее элемент
I, то путь, определяемый
этим словом, будет замкнутым
вне зависимости от
того, какая точка принята
за начальную. Таким образом, граф группы
обладает некоторым свойством однородности.24
(Произвольный граф называется однородным
степени n если в каждую его вершину
входит и из каждой его вершины выходит
одинаковое число направленных отрезков,
равное n. Граф группы будет однородным
графом в этом смысле). Из этого свойства
графа группы следует, что его вершины
можно пометить так, чтобы любая наперед
заданная вершина соответствовала элементу
I.<…>
Граф группы является связной сетью, т.е. существует путь из любой вершины в любую другую вершину. Если r и s — два произвольных элемента группы, то существует элемент х = r–ls, такой, что rx = s <…>. Ясно, что если W — произвольное слово, представляющее элемент х = r–1s, то rW = s; таким образом, если вершина, соответствующая элементу r, взята за начальную точку, то путь, описанный словом W, ведет от r-вершины к s-вершине.
Теперь
выпишем вместе все соответствия, установленные
в ходе предыдущих рассуждений:
| Группа | Граф |
| Элемент | Вершина |
| Образующая | Направленные ребра одного «цвета» |
| Слово | Путь |
| Умножение элементов | Последовательное прохождение путей |
| Слово, представляющее элемент I | Замкнутый путь |
| Разрешимость уравнения rx = s | Сеть связна |
Таким образом, конкретная группа может быть определена при помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми (как мы установили) должен обладать граф группы. Внутренней структурой такой сети группа вполне определяется, т.к. нам известно, каким образом последовательному прохождению путей должно соответствовать умножение элементов группы.25 А из приведенных выше соответствий видно, что образующая в группе соответствует направленным ребрам одного «цвета» в графе, а каждый элемент группы соответствует вершинам в графе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Введение в теорию групп / П. С. Александров — М.: Издательство «Наука», 1980. — С. 144.
2. Группы и их графы / И. Гроссман, В. Магнус; под ред. В. Е. Тараканова — М.: Издательство «Мир», 1971. — С. 245.
3. Курс алгебры / Э. Б. Винберг — 2-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001— С. 544.
4. Лекции по математике. Т. 8 / Теория групп: учебн. пособие / В. Босс — М.: КомКнига, 2007. — С. 216.
5. Линейная алгебра и некоторые приложения / Л. И. Головина. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Наука», 1979. — С. 392.
6. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. — 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.— С. 288.
7. Теория групп / А. Г. Курош. — М.: Издательство «Наука», 1967. — С. 648.
8. Группа (математика) // Википедия / Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. ¾ Режим доступа: http://ru.wikipedia.org