Образующие элементы в различных группах

    Обозначения эти оправданы тем, что, действительно,

аⁿ∙а^–n = 1.

    Для доказательства последнего утверждения  заметим прежде всего, что в случае п = 1 оно очевидно (следует из самого определения а^–1). Предположим, что оно верно для п–1 и докажем в этом предположении его справедливость для п. Имеем

аⁿ∙а^–n = (аⁿ∙ а^n–1) (а^–(n–1)∙а^–1) = а∙{а^n–1∙а^–(n–1)}∙а^–1.

    Но  в силу нашего предположения фигурная скобка равна единице, значит,

аⁿ∙а^–n = а∙1∙ а^–1 = 1.

    что и требовалось доказать.

    Мы определили выражение аⁿ для любого положительного и для любого отрицательного значения п. Положим, наконец, что, по определению, а⁰ = 1.

    Пусть теперь р и q — два целых числа. Из наших определений следует, что для любых целых р и q имеем

а^р∙а^q = а^р+q.

    Мы  получаем следующий результат.

    Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде а^п при целом п с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а).

    В самом деле: 1) произведение двух элементов, принадлежащих Н(а), есть опять элемент Н(а); 2) единица принадлежит Н(а); 3) к каждому элементу а^m из Н(а) найдется элемент а^–m, который также принадлежит Н(а).

    Итак, Н(а) есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. ¹⁸

    Определение

    Если  любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей, то группа называется циклической.

    Примеры

    1. Примером циклической группы может служить группа вращений правильного многоугольника. Пусть дан правильный n-угольник A₁A₂...A_n, и пусть О — его центр. Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот n-угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов, очевидно, п:

    a₀ —поворот на Ð 0 (тождественное преобразование),

    a₁ — поворот на

    a₂ — поворот на

    …………………

    a_n–1 — поворот на .

    По  определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим:

a_k ◦ a_i = a_k+I,

    при этом естественно считать, что a_k+n = a_k для любого k, в частности, а_п = а₀. Это умножение, очевидно, ассоциативна (и коммутативно). Поворот а₀ является единичным элементов группы и a_k^–1 = а_{п — k}. для всех k = 0, 1, ...., n – 1.

    Если  положить а₁ = а, мы будем иметь а₂ = а², а₃ = a³, a_n–1 = а^n–1 и, наконец, а_п = а^п = а₀. Можно сказать, что эта группа образована степенями одного из своих элементов (или что она «порождается» одним из своих элементов), а именно, элемента а = а₁. Группа вращений правильного n-угольника является циклической группой порядка п; обозначается эта группа символом С_п.

    2. Циклической группой порядка  3 является группа вращений треугольника. Выписав степени образующей  а:

а, а², а³, а⁴, а⁵, а⁶, а⁷,… .

    Так как а³ = I, то эту последовательность можно переписать так:

а, а², I, а, а², I, а,… .

    Она представляет собой циклическое  повторение основной серии а, а², I. Именно по этой причине данная группа — циклическая.

    3. Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь 2 = 1 + 1, 3 = (1 + 1)+ 1, — 1 есть элемент, противоположный к 1, и т.д. Эта группа является бесконечной циклической группой; обозначается она символом С_∞¹⁹.

    Замечание

    Обычно  мы будем использовать для обозначения  циклической группы букву С, а ее порядок обозначать числом в нижнем индексе. Таким образом, С₃ обозначает циклическую группу порядка 3, а С_n — циклическую группу порядка n.²⁰ 

    Таким образом, мы определили понятие циклической подгруппы Н(а), порожденной некоторым элементом а данной группы G.

    Замечание

    Всякая  циклическая группа, коммутативна.

    Доказательство

    Поскольку в группе Н(а)

а^р∙а^q = а^р+q = а^{q +p} = а^q∙а^р.

    то  группа Н(а) коммутативна.²¹

    Бесконечная циклическая группа

    Циклическая группа определяется тем свойством, что все ее элементы можно выразить как степени одного образующего элемента а. Выяснили, что группа, порожденная элементом а, конечна, если существует положительное число n, такое, что аⁿ = I. Если же такого положительного целого числа не существует, то каждая следующая степень элемента а представляет собой новый элемент группы, и в таком случае циклическая группа будет бесконечной.

    Примеры

    1. Конечной циклической группой порядка n является мультипликативная группа корня n-ой степени из единицы, n = 1, 2, …

    2. Бесконечной циклической группой является аддитивная группа целых чисел, ее образующим элементом является число 1. 

    Пример  бесконечной циклической группы показывает, что из конечности числа  образующих не следует конечность самой  группы.

    Теорема

    В циклической группе G = {а} порядка n в качестве образующего элемента можно взять элемент a^k, 0 ≤ k < n, тогда и только тогда, если k и n взаимно просты.

    Доказательство

    Действительно, если (k, n) = 1, то существует такие u и v, что

ku + nv = 1.

    Тогда

(а^k)^u = а^{1 – nv} = а ∙ а^–nv = а.

    Если, с другой стороны, при некотором  k будет (а^k)^s = а, то разность показателей ks – 1 должна делится на n.

ks – 1 = nq,

    откуда ks – nq = 1, т.е. (k, n) = 1. Что и требовалось доказать.²²

 

ГЛАВА 2. ГРАФИЧЕСКОЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУПП

    Одними из ключевых вопросов теории групп являются вопросы задания и построения конкретной группы или некоторого их класса. В предыдущей главе были приведены способы задания различных групп. Пожалуй, самым интересным и довольно наглядным способом задания групп является так называемое графическое представление, т.е. с помощью графов. А понятие образующей группы играет здесь основную роль при переходе к осуществлению графического представления групп. Остановимся подробней на данном вопросе.

    Если  элемент а порождает циклическую группу С_n, то последовательность степеней элемента а представляет собой циклическое повторение основной серии а, а², ..., аⁿ = I. Это свойство допускает геометрическую интерпретацию, которая в свою очередь приводит к осуществлению нашей цели — построению графического представления группы. Например, циклическая группа порядка 3 (из примера главы 1 о циклических группах) наводит на мысль о треугольнике, каждая вершина которого соответствует элементу группы (рис. 2.1).

Рис.2.1

    Каждой  стороне треугольника приписано  направление, которое указано стрелкой. Движение в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующий элемент а группы. Таким образом, отправляясь из вершины, помеченной символом а², передвинуться в направлении, указанном стрелкой, к вершине I — это все равно, что образовать произведение а²а = а³ = I. Движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент а^–1, обратный к образующей а. Например, отправляясь из вершины, помеченной символом а², передвинуться в направлении, противоположном указанному стрелкой, направленной к этой вершине, — это все равно, что образовать произведение а² а^–1 = a a а^–1 = a.

2.1. Граф группы

    Возникает предположение, что многоугольник, сторонам которого приписано направление, можно рассматривать как геометрический эквивалент циклической группы, или граф циклической группы. Давайте посмотрим, что мы знаем об основных свойствах группы и как они отражаются в только что предложенной геометрической интерпретации.

    Если а — образующая циклической группы, то по определению каждый элемент может быть представлен как произведение сомножителей а и а^–1. Обратно, любое произведение сомножителей а и а^–1 есть элемент группы. Рассмотрим, например, произведения