Образующие элементы в различных группах

    3. Система {3,7} — является системой образующих группы .

    Замечание 1

    Всякая  система образующих группы с конечным числом образующих содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой образующих этой группы.

    Так как конечная система образующих всегда может быть сделана неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь доказать, что при наших  предположениях всякая бесконечная  система образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с образующими а₁, а_2,…, а_n ,

G = {а₁, а_2,…, а_n},

    и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы. Всякий элемент а_i, i = 1, 2….n, записывается в виде произведения степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого а_i одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят в эти записи i = 1, 2….n, мы получим конечное подмножество М¢ из М, порожденная которым подгруппа {М¢} содержит все элементы а₁, а_2, ..., а_n и поэтому совпадает с G.

    Заметим, что различные неприводимые системы  образующих группы с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, различное число элементов. Например, в циклической группе можно выбрать неприводимые системы образующих, состоящие более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

    Замечание 2

    Всякая  бесконечная группа с конечным числом образующих является счетной. 

    Действительно, если элементы а₁, а_2,…, а_n являются образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записан виде произведения

    (вообще  говоря, многими различными способами); всякое i_k есть одно из чисел 1, 2,…, n, причем возможно, что i_k = i_l при k ≠ l. Будем называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин показателей:

h = |α₁| + |α₂| + … + |α_s|.

    Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степеней образующих элементов а₁, а_2, …, а_n данной длины h. Множество всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой счетного множества, т.е. счетным, а поэтому и группа G будет не более чем счетной¹².

    Существуют  счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Примером таких групп являются числа , составляющие систему образующих для аддитивной группы рациональных чисел R.

    Группы  с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп, промежуточный  между конечными и счетными группами.

    Примеры

    1. Примером группы с двумя образующими служит таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника.  

    2. Знакопеременная группа А_n порождается множеством 3-циклов. 

    3. Группа поворотов С_n порождается одним поворотом t = 2p/n. А группа диаэдра D_n — поворотом t и отражением r относительно одной из осей.¹³ 

    Два важных примера систем образующих содержатся в приводимых ниже теоремах.

    Подстановка, являющаяся циклом длины 2, называется транспозицией¹⁴.

    Теорема 1

    Группа  S_n порождается транспозициями.

    Доказательство

    Отметим, что каждая транспозиция обратна  сама себе. Поэтому утверждение теоремы  означает, что любая подстановка  разлагается в произведение транспозиций.

    Умножение подстановки

.

    слева на транспозицию (ij) вызывает перестановку i и j в нижней строке. Такая операция также называется транспозицией. Очевидно, что путем последовательных транспозиций любую перестановку (k₁, k₂, …, k_п) можно привести к тривиальной: сначала, если k₁ ¹ 1, меняем местами k₁ и 1, ставя тем самым 1 на первое место, затем ставим 2 на второе место и т.д. Таким образом, существуют такие транспозиции t₁, t₂,…, t_n что

t_n…t₂t₁s = id,

    и, значит,

s = t₁t₂…t_n.

    Теорема 2

    Группа  QL_n(K) порождается элементарными матрицами¹⁵.

    Доказательство

    Отметим, что матрица, обратная к элементарной, также элементарна. Поэтому утверждение  теоремы означает, что любая невырожденная  матрица разлагается в произведение элементарных матриц.

    Умножение матрицы А Î GL_n(K) слева на элементарную матрицу вызывает соответствующее элементарное преобразование ее строк. Мы знаем, что с помощью элементарных преобразований строк любую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице. Таким образом, существуют такие элементарные матрицы U₁, U₂, ..., U_s, что

U_s…U₂ U₁ A = Е,

    и, значит,

A = U₁^–1 U₂^–1… U_S^–1.¹⁶

1.2.3. Непорождающие элементы

    Антиподом порождающих множеств является подгруппа  Фраттини. Чтобы прийти к этому  понятию, назовем подгруппу Н группы G максимальной подгруппой со свойством s, если Н обладает свойством s и не содержится ни в какой большей подгруппе с этим свойством. Если s — свойство быть меньше всей группы, то максимальные подгруппы со свойством s называются просто максимальными. Конечно, в группе может и не быть максимальных подгрупп <…>. По определению подгруппа Фраттини Ф(G) группы G — это пересечение всех ее максимальных подгрупп, если они существуют, и сама G — в противном случае.

    Элемент х группы G назовем непорождающим элементом группы, если его можно удалить из любого порождающего множества группы G, в которое он входит.

    Теорема

    Множество S всех непорождающих элементов группы G совпадает с подгруппой Фраттини Ф(G).

    Доказательство

    а) S Í Ф(G). Действительно, если G не содержит максимальных подгрупп, то утверждение тривиально. Пусть теперь х Î S, Н — максимальная подгруппа из G*. Если х Ï Н, то (х, Н) = G, (Н) Ï G. Это противоречит включению х Î S. Значит, х Î Н, х Î Ф(G).

    б) Ф(G) Í S. Пусть, напротив, существует элемент х Î Ф(G), который вместе с некоторым множеством М порождает G, но (М) ¹ G. По лемме Цорна существуют подгруппы Н, максимальные среди подгрупп, содержащих М и не содержащих х. Ясно, что все эти подгруппы просто максимальны. Но тогда они содержат Ф (G), а вместе с ней х, вопреки построению. Теорема доказана¹⁷.

    Примеры

    1. В группе подгруппа (р) максимальна при любом простом р, поэтому Ф( ) = 0. Легко сообразить, что в группе любой элемент является непорождающим, поэтому Ф( ) = .

    2. Так как группа С_р∞ совпадает с объединением подгрупп С_рn, n =1, 2,…, то каждый ее элемент является непорождающим. Поэтому Ф(С_р∞) = С_р∞.

    3. Можно проверить, что подгруппа H_i группы S_n, состоящая из всех подстановок, оставляющих символ i неподвижным, максимальна в S_n. Так как пересечение H₁ Ç…Ç H_n равно 1, то Ф(S_n) = 1.  

1.3. Циклические группы

1.3.1. Подгруппа, порожденная данным элементом данной группы. Определение циклической группы

    Пусть а — произвольный элемент группы G. Умножим его на себя, т.е. возьмем элемент а∙а. Этот элемент обозначим через а². Точно так же обозначим а∙а∙а через а³ и вообще положим а∙а∙…∙а = аⁿ. 

    Рассмотрим  далее, элемент а^–1 и обозначим последовательно

    а^–1∙ а^–1   через а^–2

    а^–1∙ а^–1∙ а^–1  через а^–3

    а^–1∙ а^–1∙…∙ а^–1 через а^–n.