Образующие элементы в различных группах

    Примеры групп

    Рассмотрим  множество всех целых чисел. При сложении двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу 0, то сумма равна другому слагаемому: а + 0 = а; для каждого целого числа а противоположное к нему число – а (сумма которого с данным числом а равна 0) тоже является целым. Операция сложения (в частности, целых) чисел коммутативна (a + b = b + а для любых двух чисел а и b) и ассоциативна ((a + b) + c = a + (b + с) для любых трех чисел а, b, с).

    Далее, если из множества всех целых чисел  выделить подмножество чисел, делящихся на данное число k, то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже «замкнуто» относительно «операции сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на k, делится на k; это множество содержит 0 (нуль делится на любое число); и, наконец, если а делится на k, то и – а делится на k.

    Аналогичными  свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел — каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль является одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числа а имеется противоположное к нему число – а такое, что а + (– а) = 0, причем — а при вещественном а будет вещественным, а при рациональном а — рациональным. Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутативна и ассоциативна. Все это — примеры «групп по сложению».

    Рассмотрим  теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисел и «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отличное от нуля) вещественное число а^–1 произведение которого на а равно 1.

    Аналогичными  свойствами обладает и множество  всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел или множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Каждое из них замкнуто относительно операции умножения, все они содержат единицу и у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству. Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутативно (ab = bа для всех а и b) и ассоциативно ((ab)c = а(bс) для всех а, b, с).

    Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел, 1 и – 1. Впрочем, множество, состоящее из одного числа 1 (или 0), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа 1, i, – 1, – i также образуют, очевидно, группу по умножению.

    Складывать  можно не только числа, но, например, векторы линейного пространства R, причем это сложение подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: оно крммутативно и ассоциативно, в R имеется нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого х Î R, и для всякого вектора х Î R имеется противоположный ему вектор – х, такой, что х + (– х) = 0.

    Складывать  можно матрицы одного и того же строения (т.е. [m ´ n]-матрицы, где m и п — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая из одних нулей, и для каждой матрицы [a_ik] имеется противоположная к ней матрица [– a_ik] — такая, что [a_ik] + [– a_ik] есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы (т.е. матрицы с целыми элементами a_ik), то и суммой двух таких матриц будет матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной, и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочисленная матрица. Все это — тоже примеры групп по сложению.

    С другой стороны, и перемножать можно  не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка п с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами. Произведение двух таких матриц тоже будет невырожденной матрицей (т.к. произведение невырожденных матриц также невырожденное) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырожденной, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не коммутативно. Множество всех невырожденных матриц порядка п с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример некоммутативной группы по умножению.⁵

    Способы задания групп 

    Конкретная  группа может быть определена следующими способами:

    1. Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

    2. При помощи графической схемы  (сети), составленной из направленных  отрезков и обладающей основными  свойствами, которыми <…> должен обладать граф группы. <…>

    2. При помощи квадратной таблицы  символов, которую мы назвали  таблицей умножения группы <…>. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все  произведения элементов группы⁶.

    Хотя  из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения. <…>

    Поэтому, следует рассмотреть еще одно фундаментальное понятие в теории групп, которое позволяет описывать  группу способом, не зависящим от ее порядка. Речь идет об образующих элементах группы⁷. Это и есть еще один способ задания группы, т.е. с помощью образующих и определяющих соотношений. С основными понятиями образующих элементов познакомимся в следующем параграфе. 

1.2. Образующие элементы группы. Система образующих

1.2.1. Понятие образующего элемента

    Пусть а и b — элементы некоторой группы. Тогда, согласно аксиоме об обратных элементах, а^–1 и b^–1 также являются элементами данной группы наряду с ab^–1a, abа^–1b и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей элементы а, b, а^–1, b^–1 в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом этой группы, согласно определению бинарной операции. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь а и b (и их обратные), то мы назовем а и b образующими (или образующими элементами) группы⁸.

    Определение

    Элемент, из степеней которого составлена данная группа H, называется образующим элементом этой группы.

    Замечание

    Следует отметить, что понятию «образующий элемент» предлагают схожее по смыслу понятие «порождающий элемент» (от анг. generative — порождающий). Такое различие часто встречается в разных источниках и литературе по теории групп. И, например, вместо того, чтобы говорить: элемент а порождает группу H(a), часто говорят: элемент a есть образующий элемент группы H(a).

    Примеры

    1. Простейший случай — это группа с одной образующей, скажем а; все ее элементы могут быть представлены как произведения, содержащие в качестве сомножителей а и а^–1. Мы уже сталкивались с группой, порожденной одним элементом: группа вращений треугольника в его плоскости имеет таблицу умножения, представленную на рис. 1.2.1<…>, и так как I = аа^–1, то ясно, что каждый из трех элементов группы I, а, а² является произведением, содержащим в качестве сомножителей лишь а и а^–1. ⁹

Рис. 1.2.1. Таблица умножения группы вращений треугольника

    2. Знакопеременная группа A_n порождается множеством 3-циклов.

    3. Группа поворотов С_n порождается одним поворотом t = 2p/n, а группа диэдра D_n — поворотом t и отражением r относительно одной из осей.

1.2.2. Система образующих. Конечное число образующих

    Однако  не всякая группа имеет один образующий элемент. Есть группы, которые порождаются  не одним, а с необходимостью несколькими (иногда бесконечным числом) элементами; и понятию одного образующего элемента приходит на смену понятие системы образующих. Очевидно, совокупность всех элементов какой-нибудь группы есть (тривиальная) система образующих этой группы.

    Определение 1

    Некоторое множество E элементов группы G называется системой образующих этой группы, если всякий элемент группы G есть произведение конечного числа сомножителей, каждый из которых либо есть элемент множества E, либо является обратным некоторому элементу множества E.¹⁰

    Или говорят, что группа G порождается своим подмножеством E или что E — система порождающих (элементов) группы G, если G = {E}.

    Примеры

    Рассмотрим  плоскость с выбранной на ней  системой декартовых координат. Обозначим  через G множество тех точек Р = (х, у), обе координаты которых х и у — целые числа. Установим следующее правило сложения точек: суммой двух точек Р₁ = (x₁, y₁) и Р₂ = (х₂, у₂) называется точка Р₃ = (х₃, у₃) с координатами х₃ = х₁ + х₂ и y₃ = y₁ + y₂. Можно легко убедится, что это определение сложения превращает множество G в коммутативную группу и что точки (0, 1) и (1; 0) составляют систему образующих этой группы¹¹.

    Замечание

    Всякая  группа имеет систему образующих.

    Теорема

    Множество E тогда и только тогда будет системой образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан хотя бы одним способом в виде произведения числа степеней элементов из E.

    Определение 2

    Если  группа G обладает системой образующих, состоящей из конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом образующих.

    Примеры

    1. Циклическая группа — группа с одной образующей.

    2. Группа всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную систему образующих e = , где — вектор, у которого единственная ненулевая координата — i-ая, равная 1.