Образующие элементы в различных группах

а, аа а^–1, а^–1аа а^–1а

    ясно, что все три произведения представляют собой один и тот же элемент  группы.

    По  очевидной аналогии мы назовем конечную последовательность образующих и их обратных словом. Тогда каждому слову, составленному из символов а и а^–1 (как мы будем говорить, «слову от символов а и а^–1»), соответствует элемент циклической группы, порожденной а. Так как любой наперед заданный элемент может быть представлен в виде слова бесконечно многими способами, то представление элемента группы в виде слова неоднозначно.

    Если х — некоторый элемент циклической группы порядка 3, то любое слово, представляющее элемент х, можно понимать как движение по графу<…>. Пусть слово ааа^–1 представляет элемент х. Будем интерпретировать его как такое движение по графу, изображенному на рис. 2.1.1:

    1. Возьмем за исходную точку вершину, помеченную символом I. Так как первым сомножителем в слове, представляющем элемент х, является а, мы движемся из I в направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка, который изображен на рис. 2.1.2. Этот конец является вершиной, помеченной символом а, и будет служить исходной точкой для дальнейшего движения. 

      
 

    2. Так как второй сомножитель равен а, мы выходим из достигнутой на первом шаге вершины и движемся в направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка (рис. 2.1.3). Этот конец есть вершина, помеченная символом а²; он и будет служить исходной точкой для дальнейшего Движения.

    3. Так как третий сомножитель есть а^–1, обратный к а, мы отправляемся из вершины, в которую пришли на втором шаге, и движемся в направлении, противоположном указанному стрелкой, к другому концу отрезка. Этот конец — вершина, помеченная символом а, — мог бы служить исходной точкой для дальнейшего движения. Однако в данном слове третий сомножитель последний, и потому дальнейших движений не происходит, т.е. путь, соответствующий слову ааа^–1 заканчивается в вершине, помеченной символом а.

    Слово, соответствующее элементу х, интерпретируется, таким образом, как множество направлений при движении вдоль некоторого пути в графической сети. Каждому слову соответствует определенная последовательность движений вдоль направленных отрезков, и, обратно, любой путь вдоль направленных отрезков графа группы, начинающийся из вершины I, соответствует конкретному слову.

    Представление группы как сети, состоящей из направленных отрезков (или ребер), где вершины  соответствуют элементам, а отрезки  — умножению на образующие группы и их обратные, было введено Кэли еще в XIX веке. Такая сеть, или граф, часто называется диаграммой Кэли.

    Вращения  квадрата в его плоскости <…> составляют циклическую группу порядка 4, С₄. Граф этой группы представлен на рис. 2.1.4.

    Замечания

    1) Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе.

    2) Вершина I выбирается произвольно.

    3) В каждой вершине сходятся два отрезка, один соответствует умножению справа на образующую а и направлен от вершины, а другой соответствует умножению справа на элемент а^–1, обратный к образующей, и направлен к вершине.

    4) Конкретная форма графической сети не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами. Направленные отрезки, связывающее вершины, не обязаны быть прямолинейными, а граф не обязан иметь форму правильного многоугольника. Вы можете проявить свой вкус, выбирая ту форму, которая вам нравится, если только при этом не искажается математический смысл.

    Графом  циклической группы С_n порядка n, связанной с вращениями правильного n-угольника в его плоскости, является n-угольник с направленными отрезками в качестве сторон. Например, циклическая группа порядка 6, С₆, соответствующая самосовмещениям правильного шести-угольника, вращающегося в своей плоскости, состоит из элементов а, а², а³, а⁴, а⁵ и a⁶ = I. Шестиугольник, ребрами которого являются отрезки, направленные как на рис. 2.1.5, будет графом этой группы.

 

    2.1.1. Бесконечная циклическая группа

    Теперь  мы построим граф бесконечной циклической группы. Циклическая группа определялась тем свойством, что все ее элементы можно выразить как степени одного образующего элемента а. Группа, порожденная элементом а, конечна, если существует положительное целое число n, такое, что аⁿ = I. Если такого положительного целого числа не существует, то каждая следующая степень элемента а представляет собой новый элемент группы, и в таком случае циклическая группа будет бесконечной. Бесконечная аддитивная группа <…>представляет собой пример такой группы.

    Конечную  циклическую группу можно связать  с самосовмещениями правильного  n-угольника на плоскости и прийти к соответствующей диаграмме Кэли. Чтобы построить граф бесконечной циклической группы, нам также будет удобно опираться на некоторое геометрическое представление. Рассмотрим прямую линию, разделенную на равные интервалы, скажем, длины 1, и ее самосовмещения, которые сдвигают эту линию вдоль самой себя на одну или несколько единиц вправо или влево. Множество всех таких самосовмещений есть бесконечная циклическая группа, порожденная сдвигом на единицу вправо. Диаграмма Кэли этой группы представлена на рис. 2.1.6.

    Примечания

    1) Естественным образом обобщив  наши предыдущие обозначения,  мы обозначим бесконечную циклическую  группу через С_¥. 

    2) Ясно, что за I можно взять любую вершину.

    3) Снова мы видим, что в каждой вершине сходятся два направленных отрезка. Движение от вершины вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующую а; движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на а^–1.<…> 

    2.1.2. Группа с двумя образующими

    Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего  треугольника является примером группы с двумя образующими: вращением  r и опрокидыванием f. Элементами этой группы <…> являются

I, r, r²

f, fr, fr²,

    где каждый элемент первой строки получается из соседнего слева (справа) умножением справа на r (или r^–1), а элементы второй строки получаются из элементов первой умножением слева на f. Это наводит на мысль, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками, соответствующими образующей f (рис. 2.1.7). 
 

      
 
 
 
 
 
 
 

    Мы  отличаем на графе образующую r от образующей f, используя непрерывную линию для умножения на r и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл этот процесс графического представления методом цветных групп.

    В качестве следствия того факта, что  рассматриваемая группа имеет две образующие, мы получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей лишь символы из множества

r, f, r^–1, f^–1.

    Примерами таких последовательностей являются

rfr^–1f^–1 и rf^–1rf^–1r¹,

    которые мы, как и раньше, будем называть словами. Конечно, каждое слово от образующих и их обратных является элементом группы или, говоря точнее, представляет элемент группы.

    Произведение любых двух элементов, определенное с помощью таблицы умножения этой группы <…>, совпадает с произведением, полученным с помощью графа, изображенного на рис. 6.7. Чтобы, например, проверить равенство rf = fr², пройдем сначала r-отрезок, выходящий из I, а затем f-отрезок, входящий в вершину, помеченную символом fr² (рис. 2.1.8). Путь на рис. 2.1.9 показывает, что frrf = r.

 

2.2. Основные свойства графа группы

    Наши  примеры графов различных групп  имеют некоторые общие существенные свойства.

    Элементы  группы находятся  во взаимно однозначном  соответствии с вершинами  графа. Каждая вершина графа соответствует в точности одному элементу группы, и наоборот.

    Каждое  ребро графической  сети есть направленный отрезок, и отрезки  одного «цвета» связаны  с одной и той  же образующей группы. Движение, начинающееся в некоторой вершине, вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на связанный с этим отрезком образующий элемент (назовем его а), в то время как движение вдоль отрезка в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на а^–1 — элемент, обратный к образующей. Например, если А, В и С на рис. 2.2.1 суть вершины графа, соответствующие элементам х, y и z некоторой группы соответственно, то движение от В к С отвечает умножению элемента у на а, так что уа^–1= z, а движение от В к A отвечает умножению элемента у на а^–1, т.е. у а^–1 = х.

 

    Каждое  слово, представляющее элемент группы, можно  интерпретировать как  путь, или некоторую  последовательность направленных отрезков графа, и наоборот. В каждой вершине пути, соответствующего некоторому слову, очередное движение определяется следующим сомножителем в слове. Так как любой сомножитель — это или одна из образующих, или элемент, обратный к образующей, то каждая вершина является концевой точкой двух направленных отрезков одинакового «цвета» — одного, направленного к вершине, и другого, направленного от нее. Если группа имеет две образующие, а и b, то в каждой вершине сходятся четыре ребра, так как четыре элемента a, a^–1, b, b^–l соответствуют четырем возможным движениям, начинающимся в этой вершине. Вообще в каждой вершине есть одно «входящее» и одно «исходящее» ребро для каждой образующей. 

    Умножение двух элементов группы соответствует прохождению  на графе пути, составленного  из двух последовательных путей. Произведение rs = t элементов r и s группы можно интерпретировать как путь в графе, который строится следующим образом. Запишем r и s как слова от образующих и их обратных. Выходя из вершины, соответствующей элементу I, пройдем путь, описанный словом, определенным элементом r. Конечная точка этого пути соответствует элементу r. Теперь, принимая за начальную точку r-вершину²³ (т.е. вершину, соответствующую элементу r), пройдем путь, описанный словом, соответствующим элементу s. Этот путь закончится в вершине, соответствующей элементу t = rs, вне зависимости от того, какие слова используются для представления элементов r и s.