Оценка и анализ рисков

    Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, подчиненную нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением σ _εi.  

    «Бета»  коэффициент, или коэффициент наклона  в рыночной модели, вычисляют следующим  образом.

      

    «Бета»  оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении  с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие «Бета» выше единицы характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. И наоборот.

    Кроме того «бета» может быть положительным  или отрицательным. Если «бета» положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности, и при отрицательном «бета» коэффициент эффективности такой ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка. В соответствии с рыночной моделью общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией, состот из двух частей. Первая часть – рыночный (систематический) риск. Вторая часть – собственный (несистематический) риск.

      

      

      

    

    Сопоставление дисперсии регрессионной и рыночной модели.

 

    Таким образом вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых  – собственной вариации, которая  не зависит от рынка, и рыночной части  вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом.

    Отношение рыночной вариации к собственной  характеризует долю риска ценных бумаг, вносимую рынком. Бумаги, для  которых эта величина достаточно велика, в каком то смысле более  предпочтительны, т.к. их поведение  более предсказуемо.

    Таким образом «бета» служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая «бета» равный единице, копирует поведение рынка в целом.

    Если  «бета» больше единицы, то реакция такой  ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону и систематический риск такой ценной бумаги выше среднего. И менее рисковыми являются бумаги, «бета» которых ниже единицы, но больше нуля. 

    Рассмотрим  «бета» коэффициент портфеля ценных бумаг.

    Доходность  портфеля с фиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка.

    Если  обозначить через Хi долю итой ценной бумаги в портфеле, тогда доходность портфеля будет равна

    mp=∑Xi(ai+βimr+εi)

    Марковиц  разработал положение, которое гласит, что совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны это так называемый систематический риск, который нельзя исключить, и которому подвержены практически все ценные бумаги в равной степени. И с другой стороны, это специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно снизить при помощи упраления портфелем ценных бумаг.

    При этом сумма вложенных средств  по всем объектам должна быть равна  общему объему инвестиционных вложений.

    Увеличение  диверсификации, т.е. количества ценных бумаг в портфеле, приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля. В то же время рыночный риск портфеля остается практически таким же.

    Модель  Марковица о формировании портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска, может быть записана следующим образом.

    Необходимо  найти вектор Х, минимизирующий риск портфеля (его стандартное отклонение).

    

    Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить при построении оптимального портфеля данной задачи.

    1.Выбрать  n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить интервал, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.

    2. Определить значение за этот  же интервал времени рыночного индекса.

    3. Построить рыночную модель для каждой ценной бумаги.

    4. Найти ожидаемые доходности каждой  ценной бумаги в зависимости  от рыночного индекса. 

    5. Определить величину дисперсии  рыночного индекса и «бета»  каждой ценной бумаги.

    6. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели.

    7. Подставить полученные значения  в соответствующее уравнение.  Далее с помощью соответствующего  вычислительного метода определяются  значения вектора Х (переменные  Х1, Х2 и т.д.). После чего определяется  доходность портфеля. 
 
 
 
 
 
 
 

    Модель  доходности финансовых активов САРМ. 

    Основу  данной модели составляет концепция  бета - коэффициентов. При помощи этого показателя может быть рассчитана величина премии за риск, которую могут требовать инвесторы по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.

    Модель  САРМ описывает зависимость между  рыночным риском и требуемой доходностью. В основе ее положен ряд строгих  предпосылок (допущений):

1. Основной целью каждого инвестора является максимизация своего дохода путем оценки ожидаемых значений доходности и среднеквадратических отклонений альтернативных инвестиционных портфелей.
2. Все инвесторы могут брать и давать ссуды неогрониченного размера по безрисковой процентной ставке, причем ограничений на короткие продажи не существует.
3. Все инвесторы одинаково оценивают величину ожидаемых значений дисперсии и ковариации доходности всех активов. Это означает, что инвесторы находятся в равных условиях в отношении прогнозирования показателей.
4. Все активы абсолютно делимы и совершенно ликвидны, т.е. всегда могут быть проданы на рынке по существующей цене.
5. Не существует транзакционных затрат.
6. Не принимаются во внимание налоги.
7. Все инвесторы принимают цену как экзогенно заданную величину, т.е. их деятельность по покупке и продаже ценных бумаг не оказывает влияния на уровень их цен.
8. Количество всех финансовых активов заранее определено и фиксировано.

 

    Авторы  модели показали, что при соблюдении указанных допущений инвестиционный портфель, повторяющий пропорции  рынка, должен быть оптимальным инвестиционным решением для всех инвесторов.

    Формальная  запись уравнения данной модели выглядит следующим образом:

      

    mi – ожидаемый доход на конкретную ценную бумагу

    mo – ставка дохода на безрисковую ценную бумагу.

    mr – доходность среднерыночного портфеля (среднее значение доходности по рынку)

    mr-mo – избыточная доходность

    Бета  измеряет изменчивость доходности акции  по отношению к доходности среднерыночного  портфеля. 
 

    Линия рынка ценных бумаг. 

    В модели САРМ рискованность ценной бумаги измеряется ее бета – коэффициентом. По определению, некая средняя акция имеет бета – коэффициент равный единицы. Акция, изменчивость которой выше, чем средняя на рынке, имеет бету больше единицы. И наоборот.

    Уравнение, устанавливающее связь между риском акции, измеряемом бета, и доходностью акции, называется уравнением линии рынка ценных бумаг (SML).

       

    1 – безрисковая доходность

    2 – премия относительно безопасной  акции

    3 - премия за риск

    4 – премия за риск относительно  рисковой акции 

    Этот  показатель варьирует в зависимости от того, является ли данная акция более или менее рисковой по сравнению с другими акциями, т.е. имеющими большее или меньшее значение бета – коэффициента.

    Если  мы примем, что доходность по безрисковым  акциям составляет 9%, средняя доходность по рынку 13% и бета равняется 0,5, то получим, что доходность такой акции будет равна 11%. 

    Безрисовые  ценные бумаги имеют бету, равную нулю. Поэтому доходности по безрисковым  бумагам соответствуют пересечению  линии рынка ценных бумаг с  вертикальной осью. Наклон рынка ценных бумаг13-9 = 4%.

    Наклон  рынка ценных бумаг характеризует  склонность к риску на данном рынке, т.е. чем больше склонность к риску  среднего инвестора, тем круче наклон линии рынка ценных бумаг, во-вторых, больше премия за риск для любого рискового актива, и в-третьих, выше требуемая доходность на рынке в целом.

    Крутизна  линии рынка ценных бумаг определяется не бета – коэффициентом, а рыночной премией за риск. В нашем примере рыночная премия за риск составляет 4% а каждую единицу прироста  бета – коэффициента.

    Требуемая доходность зависит не только от рыночного  риска, измеряемого бета – коэффициентом, но и от безрисковой ставки и премии за рыночный риск. При изменении  этих показателей меняется и линия  рынка ценных бумаг.

    Отсутствие  риска по безрисовым ценным бумагам  влечет за собой и минимальный  уровень прибыли. В силу этого  безрисковые ценные бумаги являются главнм регулятром прибыли и рисков.

    Предположим, что значение доходности по гарантированным  ценным бумагам составляет величину mo. В этом случае любой инвестиционный портфель, имеющий бумаги с той или иной степенью риска, дает более высокую прибыль, чем аналогичные по объему инвестиции в гарантированные бумаги. Следовательно, можно заключить, что замена любых ценных бумаг на более прибыльные повышает риск портфеля.

    Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать  от эффективности безрискового вклада mо. Тогда mi=ai+βimr=mo+βi(mr-mo)+αi

    α= ai+(βi-1)mo

    Превышение  эффективности ценной бумаги над  безрисковой ценной бумагой называется премией за риск. Эта премия за риск в основном линейно зависит от премии за риск, складывающейся для рынка в целом и коэффициентом является бета данной бумаги.

    Такая зависимость верна, если параметр альфа i равен нулю. Если же параметр альфа больше нуля, то такие ценные бумаги считаются рынком недооценены. Если же параметр альфа меньше нуля, то такие ценные бумаги рынком переоценены. Если альфа равняется нулю, то бумаги называются справедливо оцененными.

    По  данным американского ученого Гимсона, в ведущих в экономическом отношении странах мира рыночная премия (mr-mo) равна 8% годовых. Если, например, ставка безрискового вложения равна 5% годовых, и коэффициент бета какой-то компании составляет 0,65, то долгосрочная доходность, которую должен потребовать инвестор от данной компании в условиях устойчивой экономики, составит 5%+0,65*8% = 10,2%.

       

    Линия рынка капитала (CML).