Оценка и анализ рисков

    Прямые  ограничения (условие неотрицательности):

    X1, X2>0 

    Задача  решается графическим методом.

      
 
 

    Определяем  область допустимых значений для  каждого функционального ограничения.

    60Х1+40Х2<=300000

    Х1=0, Х2=750

    Х1=500, Х2=0

    Все точки ниже прямой удовлетворяют этому неравенству. 

    Х1+Х2<=600

    Х1=0, Х2=600

    Х1=600, Х2=600

    Точки ниже этой линии удовлетворяют неравенству 

    1,5X1-X2>=0

    Х1=150, Х2=100

    Область решений находится выше прямой. 

    Оптимальное решение находится в одной  из угловых точек области допустимых решений.

    Для определения оптимальных значений строят вектор-градиент. Для этого  вычисляют частные производные  целевой функции по переменным Х1 и Х2. Это соответственно 6 и 5.

    Вектор-градиент показывает, в каком направлении  будет происходить увеличение целевой функции.

    Берем перпендикулярную линию по отношению  к вектору градиента, и передвигаем  эту линию по отношению к вектору, до тех пор, пока будет хоть одна точка соприкосновения этой линии  с областью допустимых решений. Эта  точка и даст значение координат, или значение переменных, в которых достигается максимум целевой финкции.

    Это точка В.  

    60Х1+40Х2=300000

    Х1+Х2=600 

    Х1=300, Х2=300 

    F(Х)=6*300+5*300=3300.

    Таким образом, для получения оптимальной  прибыли клиент должен купить 300 акций  первого предприятия и 300 акций второго предприятия.  
 

    Задача  оптимизации портфелей ценных бумаг  заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой ценной бумаги так, чтобы  величина ожидаемого дохода и уровень  риска соответствовали целям инвестора.

    Например, целевой функцией может быть минимизация  риска при заданной доходности, или  максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора Х, представляющего портфель, могут накладываться различные  ограничения, которые зависят от вида сделки, типу участвующих активов, величины открываемых позиций и т.п. Портфели, удовлетворяющие условию данного рынка, называются допустимыми.

    Графически  допустимое множество портфелей, состоящих  только из двух активов, представляет собой прямую или кривую.

      
 

    На  рисунке показано допустимое (или  возможное) множество портфелей, имеющих  различную структуру и состоящих  из двух бумаг. Бумага А имеет доходность 5 и риск 4, бумага Б имеет доходность 8 и риск 10.

    Графики различаются значением коэффициента корреляции.

    Допустимое  множество портфелей представляет собой отрезок прямой или кривой, причем любая точка на кривой или  прямой представляет собой комбинацию распределения денежных средств  между этими бумагами.

    Спрашивается, являются ли все портфели, представленные на графиках, в равной степени хорошими. При коэффициенте корреляции равном нули или минус единице, не все портфели являются равноценными.

    При увеличении числа активов, составляющих портфель, линия (прямая или кривая) трансформируется в некоторую область.

    

    Заштрихованная  фигура представляет собой область  допустимых портфелей ценных бумаг. Точки A H G E соответствуют отдельным ценным бумагам, или портфелям, включающим только одну ценную бумагу. Все остальные точки заштрихованной области, включая ее границы, соответствуют портфелям, состоящим из двух или более ценных бумаг.

    Каждая  точка этой области соответствует  портфелю с риском Сигма и доходностью  m.

    Таким образом,  множество потенциальных  портфелей, которое можно составить  из имеющихся на рынке активов  велико, а следовательно возникает задача составления оптимального портфеля.

    Процедура выбора оптимального портфеля основывается на двух независимых решениях. Первое – это определение эффективного множества портфелей.  Второе решение  – это выбор из эффективного множества единственного портфеля, который является наилучшим для какого-то конкретного инвестора.

    Существует  теорема об эффективном множестве.

    Инвестор  выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

    1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска

    2. Обеспечивает минимальный риск  для некоторого значения ожидаемой  доходности.

    Набор портфелей, удовлетворяющий этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.

    Граница B C D E определяет эффективное множество портфелей, и называется также границей эффективности. Портфели, лежащие левее и выше этой границы, использовать невозможно, поскольку они не принадлежат допустимому множеству.

    Портфели, лежащие справа от границы (внутренние портфели), являются неэффективными, т.к. существуют другие портфели, которые при данном уровне риска обеспечивают более высокую доходность, либо более низкий риск для данного значения доходности.

    Для того, чтобы определить портфель, оптимальный с точки зрения отдельного инвестора, нужно знать его отношение к риску, которое проявляется в выборе параметров функции, описывающей взаимосвязь между риском и доходностью, и которая называтся функцией безразличия.

    Оптимальный портфель с точки зрения отдельного инвестора – это точка соприкосновения эффективного множества портфелей и одной из кривых безразличия инвестора. Такая точка пересечения соответствует наиболее высокому уровню удовлетворенности, которого может достичь инвестор.

    Аналитически  задачу оптимизации портфеля инвестора можно представить в следующем виде.

      

      

      

    Задача  обычно сводится к оптимизации одной  функции, а другую записывают в виде ограничения, либо строят какую-то другую функцию, в которую включают обе эти функции.

    X – весовые коэффициенты ценных бумаг (доля в портфеле).

    Если  Хj>0 это означает рекомендацию вложить долю Xj наличного капитала в ценную бумагу j. Если Хj<0, то это означает рекомендацию участвовать в операции типа коротких продаж.

    Длинные позиции – это обычно покупка  актива с намерением его последующей  продажи, т.е. закрытия позиция. Такая  покупка обычно осуществляется при  ожидании повышения цены актива с  тем, чтобы получить доход от разности цен при покупке и продаже.

    Предположим, что относительно некоторого актива инвестор уверен в обратном, т.е. в  понижении стоимости этого актива. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей. Для этого он берет данный актив у другого инвестора, сразу же продает его и в последствии покупает этот актив на рынке по сниженной цене и возвращает своему кредитору. При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности такой сделки.

    Короткие  продажи позволяют добавить к  собственному капиталу некоторую величину заемного капитала. При этом не смотря на некоторую потерю процентов, общий  выигрыш инвестора возрастет. Математически  это следует из расширения допустимого множества задачи, а по экономической сути объясняется тем, что выигрыш за счет дополнительного приобретения на занятые деньги бумаг превысит издержки по коротким продажам.

    Если  на рынке такие операции запрещены  и невозможны, то в таком случае в модель вводятся дополнительные ограничения, что все Xj>0. 

    Рассмотрим  конкретные модели.

    Модель  Блека.

    Допустимыми являются любые модели. Только одно ограничение – сумма всех Х  должна быть 1. 

    Модель  Марковица.

    В этой модели допустимыми являются только стандартные портфели, т.е. портфели без коротких продаж. Это означает, что на вектор Х накладывается два ограничения, сумма Х = 1 и все Х положительные. 

    Модель  Тобина.

    Предполагается  наличие так называемых безрисковых  активов, т.е. активов, доходность которых  не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.  

    Пример.

    Требуется сформировать портфель минимального риска  из двух ценных бумаг. Бумага А и  бумага В. Доходность А – 12, риск – 21,1%. Доходность В – 5,1%, риск – 8,3%.

    При условии, что обеспечивается доходность портфеля не менее 8,9%. Коэффициент корреляции rАВ=0,18.

    Для данной задачи модель марковица может  быть сформулирована следующим образом: найти вектор Х, состоящий из компонентов  Х1 и Х2, который минимизирует риск портфеля (σр).

      

    X1+X2=1

    12X1+5,1X2>=8,9

    X1,X2>=0

    Задачу  можно решить графически.  
 

      
 
 

    Формирование  оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового  рынка. 

    Предположим, что доходности всех ценных бумаг  за определенный период связаны с  доходностью рынка за этот же период. Во всех странах с развитым рынком ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов ценных бумаг применяются специальные индикаторы (фондовые индексы). Доходность рынка как раз и определяется с использованием фондового индекса. Некоторые ценные бумаги (большинство) с ростом рыночного индекса также возрастают по доходности, и с падением индекса снижаются. Если мы определим взаимосвязь какой-то ценной бумаги с рыночным индексом, то такую модель называют рыночной моделью.

    mi=ai+βimr+εi

    mi – доходность ценной бумаги за период.

    mr – доходность на рыночный индекс за этот же период.

    ai – постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности итой ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс. Этот параметр еще называют коэффициентом смещения.

    βi – параметр линейно регрессии «бета», показывающий чувствительность доходности итой ценной бумаги к изменения рыночной доходности. Его еще называют коэффициентом наклона.

    εi – случайная погрешность. Предположим, что имеются ценные бумаги, для которых параметр аi=2% и βi=1,2%. Рыночная модель для этой бумаги будет иметь следующий вид:

    mi = 2 + 1,2mr + εi

    Если  рыночный индекс имеет доходность 10%, то доходность данной ценной бумаги составит 14%. Если же рыночный индекс будет равен -5%, то доходность бумаги будет равна -4%.

    Случайная погрешность показывает, что рыночная модель не очень точно определяет доходность ценных бумаг. Если доходность данной ценной бумаги при рыночном индексе 10% составила 9%, то разность в 5% является случайной погрешностью. Т.е. в данном случае εi =-5%