Оценка и анализ рисков

    В данной статье Марковиц отметил, что  такое решение будет неправильным, т.к. доходность должна быть не только высокой, но и насколько это возможно, определенной. Это означает, что инвестор одновременно должен максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность, т.е. риск. Т.е. инвестор должен совместить, или сбалансировать, две противоречащие цели.

    Такая задача, по мнению Марковица, решается путем диверсификации, т.е. покупки  не одной, а нескольких ценных бумаг.

    Доходность  ценной бумаги за период от tо до t1 составит mi=m1-m0/m0

    Поскольку портфель представляет собой совокупность различных ценных бумаг, то его доходность может быть определена аналогичным  образом: mp=W1-W0/W0

    W0 – совокупная цена всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент времени tо.

    В момент времени t0 инвестор не знает, каким будет уровень доходности большинства портфелей, т.е. инвестор должен считать уровень доходности любого портфеля случайной переменной. Такие переменные имеют свои характеристики. Одна из них – это ожидаемое, или среднее значение, и другая – стандартное отклонение. Следовательно, инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать лучший из них, основываясь на соотношении этих двух параметров.

    Стандартное отклонение здесь является мерой  риска.

    Пример.

    Предположим, что имеются два портфеля, А  и В. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфелей А – 8% и 10%, В – 12% и 20% соответственно.

    Начальное состояние инвестора составляет 100 000 долларов. Период владения равен одному году.

    Через год возможны следующие варианты:

 

    Согласно  приведенным данным, для инвестора существует большая вероятность получить отрицательную доходность, равную 27% при  покупке портфеля В. При покупке портфеля А эта вероятность составляет 21%.

    Конечное  решение о покупке портфеля А  или В зависит от отношения  конкретного инвестора к риску и доходности.  

    Кривые  безразличия.

    При выборе наиболее желательного портфеля используют так называемые кривые безразличия. Они отражают отношение инвестора  к риску и доходности и могут  быть представлены в виде двумерного графика, на котором по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого, как правило, является стандартное отклонение. И по вертикальной оси – ожидаемая доходность.

      

    Каждая  кривая на рисунке отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора. Портфели А и В считаются равноценными, хотя они имеют различные ожидаемые доходности и стандартные отклонения, но оба этих портфеля лежат на одной кривой безразличия.

    Разница в риске компенсируется более  высокой доходностью.

    Таким образом, первое важное свойство кривых безразличия – все портфели, лежащие  на одной заданной кривой безразличия  являются равноценными для конкретного  инвестора. В следствии этого свойства является тот факт, что кривые безразличия не могут пересекаться.

    На  рисунке портфель С с ожидаемой  доходностью 11% и риском 14% более  предпочтителен по отношению к портфелям  А и В.  Портфель С лежит на кривой безразличия I3, которая расположена выше и левее, чем кривая безразличия I2. Портфель С имеет большую ожидаемую доходность, чем портфель А и меньшее стандартное отклонение, чем портфель В. Отсюда следует второе свойство кривых безразличия. Инвестор будет считать любой портфель лежащим на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным по отношению к портфелям, лежащим на кривых безразличия, расположенных ниже и правее.

    Каждый  инвестор должен иметь график кривых безразличия, представляющих его выбор  ожидаемых доходностей и стандартных отклонений. Это означает, что инвестор должен определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение для каждого потенциального портфеля, нанести их на график и затем выбрать один портфель, находящийся на кривой безразличия, расположенной выше и левее других кривых.

    Принимая  решение, какой портфель выбрать, и  использую при этом свое начальное  состояние, инвестор должен обратить внимание на эффект, который различные портфели оказывают на конечное благосостояние. Этот эффект выражается через ожидаемую доходность и стандартное отклонение.

    В свою очередь, ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля зависят от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель, а также  от доли каждой бумаги по отношению ко всем бумагам, из которых сформирован портфель.

    Таким образом, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную величину ожидаемых доходностей  ценных бумаг, составляющих портфель.  

    Диверсификация  портфеля 

    Ожидаемый доход, обеспечиваемый сочетанием различных активов, рассчитывается как взвешенная средняя из ожидаемых доходов по каждому из компонентов. Допустим, что ожидаемая норма дохода по акциям составляет 12%, а по облигациям – 5,1% в год.

    Портфель, состоящий на 60% из акция и на 40% из облигаций, будет иметь ожидаемую норму дохода, равную mp=0,6*0,12+0,4*5,1 = 9,24%

    Доля  в каждом из видов активов называется еще портфельным весом.

    Таким образом, вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также от доли начальной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу. И никакие другие факторы для определения ожидаемой стоимости портфеля значения не имеют.  

    Риск  портфеля.

    Мера  риска должна учитывать вероятность  возможных плохих результатов и их величину. Другими словами, мера риска должна оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Это позволяет сделать стандартное отклонение, которое является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой.

    Стандартное отклонение дохода представляет собой  квадратный корень из дисперсии портфельного дохода. Дисперсию также называют вариацией портфеля.

    σp²=Up=X^T*cov X

    cov X – ковариационная матрица порядка n. 

    Рассмотрим  более подробно. Предположим, что портфель состоит из трех ценных бумаг. Тогда стандартное отклонение такого портфеля будет равно

      

    Каждое  слагаемое включает в себя произведение весов двух ценных бумаг Xi и Xj и ковариации этих двух ценных бумаг. Всего нужно сложить девять членов, с тем, чтобы получить стандартное отклонение портфеля, состоящего из трех ценных бумаг.  

    Ковариация  – это мера того, на сколько две  случайные переменные зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону. И отрицательная ковариация показывает, что при увеличении доходности одной бумаги, доходность другой уменьшается.

    С помощью коэффициента ковариации трудно оценить степень зависимости  двух случайных переменных, например доходностей двух ценных бумаг. Поэтому  наряду с коэффициентом ковариации используется коэффициент корреляции.  

        

    Далее пропущен пример, из которого можно сделать выводы:

1. Корреляция между бумагами в портфеле не влияет на эффективность портфеля
2. При полной прямой корреляции, диверсификация портфеля не дает практически никакого эффекта. Риск такого портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.
3. При полной обратной корреляции (-1) возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.

 

    Предположим, что портфель можно составить из четырех видов некоррелированных бумаг, эффективности и риски которых следующие:

    Предположим также, что бумаги входят в портфель равными долями.

    Первый  вариант – портфель состоит из бумаг первого и второго вида. Тогда доходность этого портфеля будет равна 3, риск SQRT(1+4)/2 = 1,12

    Второй  вариант  - портфель состоит из бумаг  первого, второго и третьего вида.

    M1,2,3, = (2+4+8)/3=4,67 . Риск равен 1,53.

    Третий  вариант  - портфель включает все бумаги. Доходность 6,5, риск 1,89. 

    Вывод: при составлении портфеля из все  большего количества видов ценных бумаг, риск растет незначительно, а эффективность  растет быстрее.  
 

    Постановка  задачи об оптимальном  портфеле 

    Задачи  по выбору оптимального портфеля решаются с используются с использованием методов нелинейного программирования.

    Методы  линейного программирования используются для решения задач, в которых  оптимизированная функция и ограничения  являются линейными.

    Используются  графический метод, транспортная задача и симплексный метод. Симплексный метод является универсальным методом решения задач линейного программирования.  

    Задача.

    Инвестор  хочет вложить средства в два  наименования акций крупных предприятий. Цена на акцию первого предприятия 60 руб., второго предприятия – 40 руб. Всего инвестор может выделить на покупку этих акций 30 000 рублей. Клиент уточнил, что он хочет приобрести не более 600 акций обоих предприятий. При этом акций первого предприятия должно быть больше, чем в полтора раза акций второго предприятия. По оценкам экспертов ожидаемая доходность акций первого предприятия составит 6 руб, второго – 5 руб. Спрашивается, сколько акций первого и второго предприятия должен приобрести клиент, чтобы получить максимальную прибыль.  

    Составим  экономико-математическую модель данной задачи. Для этого введем переменные X1 – количество акций первого предприятия, приобретаемые клиентом. X2 – количество акций второго предприятия. Тогда доход, который может получить клиент f(X) = 6X1+5X2

    Эту функцию нужно максимизировать.

    На  покупку акций первого предприятия  клиент может затратить 60Х1, на акции  второго предприятия он затратит 40Х2.

    Функциональные  ограничения:

    60Х1+40Х2<=30 000

    Х1+Х2<=600

    1,5Х1>=Х2, или 1,5Х1-Х2>=0