; ,

     c'(y)

,

     с"(у)

.

     Графики перечисленных функций для функции  затрат вида х = y^l/a при а = 0,5 приведены на рис.1.

     

     Рис.1.

     Функция выпуска с одним продуктом  и единственным ресурсом и соответствующая  ей функция затрат эквивалентны: замена одной из них на другую не может привести к новым представлениям или дать преимущество при моделировании производственных единиц. Иное дело в случае нескольких ресурсов. Функция затрат для нескольких ресурсов и одного продукта имеет следующий вид:

            , где i = 1,..., п. (5)

     Потребление каждого из ресурсов задается однозначной  функцией количества выпускаемой продукции. Замещение ресурсов здесь невозможно. Ресурсы в функции затрат являются взаимодополняющими, т. е. объемы потребления ресурсов определяются жесткими технологическими условиями, и нехватка хотя бы одного из ресурсов не позволяет полностью использовать остальные ресурсы. Таким образом, описание производства с помощью функции затрат принципиально отличается от описания с помощью функции выпуска, где замещение ресурсов допустимо.

Свойства  функции затрат

     Относительно  функции затрат (5) формулируются  предположения, близкие по характеру к свойствам функции затрат с одним ресурсом (2). Прежде всего для простоты предполагается, что функция затрат является дважды непрерывно дифференцируемой. По аналогии с (2) считается, что, во-первых:

            ,  (6)

т. е. при  отсутствии производства ресурсы не нужны, и, во-вторых:

            ,  (7)

т. е. рост производства требует увеличения количества используемых ресурсов.

     Иногда  делается следующее предположение:

            ,  (8)

т. е. предельные затраты с ростом производства растут.

     Часто за счет концентрации производства имеется  противоположный эффект: с ростом объема производства предельные затраты падают; в таких случаях вместо предположения (8) используется противоположное:

            ,  (9)

означающее невозрастание предельных затрат с ростом производства.

     В этом случае предельные затраты с'(у) оказываются не больше средних, причем средние затраты также убывают с ростом выпуска продукции. Встречаются также функции затрат, для которых в некоторых диапазонах затрат выполняется соотношение (8), в других - соотношение (9). Такая ситуация может возникнуть, если при росте выпуска (у) сначала основное влияние оказывает экономия ресурсов за счет концентрации производства, а при слишком большом выпуске эффективность начинает падать.

Билет №34

Некоторые виды функции затрат

Их 2 это линейно-однородная и степенная функция затрат.

Из них  наиболее простая функция затрат - это линейная однородная функция:

            ;  , (10)

где а - неотрицательный параметр.

     Для этой функции выполняются предположения ,  (6)

т. е. при  отсутствии производства ресурсы не нужны, и, второе:    ,              (7)

т. е. рост производства требует увеличения количества используемых ресурсов.

       при этом средние затраты  g_j(y) и предельные затраты с_i'(у) совпадают и равны а_i.

     Близка  к линейной функции затрат линейная неоднородная функция (рис.2): ,где d_i - неотрицательный параметр.

Рис.2

     Если  все d_i, = 0, то функция (11) совпадает с (10), в противном случае затраты не равны нулю даже тогда, когда продукция не выпускается. Эта функция может быть использована, когда приходится заранее делать капиталовложения, объем которых не зависит от масштабов производства. Так как для функции (11), по крайней мере для некоторых ресурсов, имеем: с_i(0) = d_i > 0, то предположение (6) здесь не выполняется. Поскольку , то предположение (7) выполняется по-прежнему.

     При анализе функции (11) представляет интерес  соотношение между предельными  и средними затратами. Здесь средние затраты имеют вид:

  , поэтому и при и =

т. е. средние  затраты для функции (11) превосходят  предельные и стремятся к ним  при стремлении выпуска к бесконечности.

     Для того чтобы не нарушать предположение (6) о нулевых затратах при нулевом выпуске, иногда вместо функции (11) используют близкую к ней функцию затрат вида:

             (12)

     Эта функция обладает существенным недостатком: она имеет разрыв в точке 0, что затрудняет исследование моделей.

     Функции (11) и (12) применяются на практике достаточно часто благодаря тому, что они  хорошо выражают закономерности производства во многих экономических исследованиях.

     В качестве функции затрат, характеризующейся  возрастающими или убывающими предельными затратами ресурсов, можно использовать степенную функцию затрат:

              , (13)

где а и а - положительные параметры. Представим две такие функции в MathCADе (см. рис. 3)

Для данной функции:

     

;

     

 

     

 

     

     Если  , то эта функция с убывающими предельными затратами. Для нее: т.е. предельные затраты меньше средних.

     Если  , то эта функция с возрастающими затратами. Для нее: (рис.4).

     В зависимости от свойств моделируемой производственной единицы может  быть выбрана та или иная величина .

     В отличие от функции выпуска, которая  обычно используется для описания сложных производственных единиц, функция затрат чаще всего применяется для описания производства в относительно простых экономических системах. Разнообразие производственных объектов такого типа приводит к тому, что встречается большее число различных типов функции затрат. Более того, при описании одной и той же производственной единицы могут использоваться различные функции затрат для ресурсов разных типов. Так, в некоторых моделях затраты сырьевых ресурсов выражаются линейными функциями типа (10), а затраты трудовых ресурсов и основных фондов – степенными функциями, характеризующими экономию затрат, связанную с увеличением масштабов производства.

     

     Теория  предприятия часто рассматривается  с позиции функции затрат, принятой в качестве первичного понятия. Такой подход значительно упрощает проведение анализа. Однако он может быть подвергнут критике с двух позиций.

     С одной стороны, соотношение между стоимостью затрачиваемых ресурсов и произведенным количеством зависит от цен p_i различных ресурсов, так что функция затрат изменяется при изменении этих цен. Производственная функция представляет собой, таким образом, более фундаментальное понятие, т. к. отражает технологические ограничения независимо от системы цен.

     С другой стороны, теория предприятия, построенная на основе анализа затрат, плохо вписывается в теорию общего равновесия, в которой цены рассматриваются как эндогенные, а не являются определенными заранее.