Частная производная производственной функции  по одному из ресурсов является предельной производительностью (эффективностью) данного ресурса - ¶f/¶x_i. Она характеризует скорость изменения функции выпуска по отношению к изменению затрат ресурса. Если предельная производительность ресурса положительна, то, следовательно, выпуск растет при росте затрат ресурса. Если предельная производительность ресурса отрицательна, то выпуск уменьшается при росте затрат ресурса.

     Средней производительностью ресурса будет  показатель f(x)/x_i.

     Относительной характеристикой изменения выпуска  продукции при увеличении затрат ресурсов будет показатель эластичности выпуска по отношению к изменению затрат i-го ресурса:

     

     Эластичность  выпуска по отношению к изменению  затрат ресурса показывает, на сколько  процентов возрастет объем продукции  при увеличении затрат ресурсов на 1%.

     Величину можно вычислить по другой, эквивалентной формуле:

     

     Определим данные показатели для производственной функции у = х^a при х > 0. Предельная эффективность ресурса равна:

     

     Средняя эффективность ресурса равна:

     

.

     В силу того, что 0 < а < 1, для этой производственной функции предельна эффективность меньше средней.

     Эластичность  выпуска по ресурсу будет равна:

     

=

     Эта производственная функция характеризуется  постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурса.

Рис. 3

     На  рис. 3 изображен график производственной функции  , ее предельной и средней эффективностей, а также эластичности выпуска по ресурсу.

     Теперь  сформулируем экономические предположения.

     Первое  предположение. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса (точнее незаменимого ресурса), т. е. 

            ; (5)

     Это означает, что каждый из ресурсов необходим  хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими ресурсами.

     Второе  предположение. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается. Это означает, что предельные эффективности ресурсов положительны. В математической форме:

            ≥0. (10)

     Предположение (10), являющееся на первый взгляд очевидным, выполняется не всегда. Например, при возрастании количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала растет, а затем начинает снижаться. Поэтому для производственных функций, не удовлетворяющих соотношению (10), вводится понятие экономической области. Использование ресурсов в сочетаниях, не попадающих в экономическую область, бессмысленно с экономической точки зрения.

     Для функций (8), имеющих непрерывные  производные, границами экономической области являются поверхности ¶f/¶ х_i = 0, которые называют разделяющими поверхностями.

     Третье  предположение. По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает. Математически это требование для дважды дифференцируемых функций выглядит следующим образом:

       ≤0, . (11) 

     Для производственной функции вида это условие выполняется. Оно означает, что рост вооруженности средствами производства приводит к росту выпуска продукции, но темп роста выпуска продукции все время падает. В случае экстенсивного роста производства, т. е. роста только за счет количества ресурсов без повышения эффективности их использования на основе достижений научно-технического прогресса, соотношение (11) имеет разумную интерпретацию: поскольку каждая следующая единица производственного ресурса, количество которого возрастает, должна соединиться со все меньшим приходящимся на нее количеством других ресурсов, эффективность использования этого ресурса уменьшается.

     Часто вместо условия (11) формулируется более сильное математическое требование, близкое к (11) по смыслу. Если f(x) – выпуклая вверх функция своих аргументов, на неотрицательном ортанте для любых двух неотрицательных векторов х' и х" и любого числа аÎ[0,1] справедливо неравенство:

            . (12)

     Если  используется единственный ресурс, а  функция f(x) достаточно гладкая то требования (11) и (12) равносильны. Если же ресурсов несколько то (11) не эквивалентно (12), т. е. не эквивалентно выпуклости вверх функции f(x).

     Четвертое предположение. Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства. Последняя характеризует изменение выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов и математически выражается в умножении всех компонентов вектора х на положительный скаляр t. Скалярная функция f(x) является однородной функцией степени δ, если для любого вектора х и любого скаляра t она удовлетворяет соотношению:

            . (13)

     Математически четвертое предположение состоит в требовании однородности производственной функции. Если δ > 1, то производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если δ=1 – постоянной отдачей; при δ< 1 - убывающей отдачей. Естественно, что выполняется предположение δ ≥ 1, ибо в противном случае нарушалось бы условие (10) во всех точках положительного ортанта и отсутствовала бы экономическая область. Данное предположение выполняется далеко не для всех производственных  функций, используемых в экономических исследованиях. Для характеристики последствий изменения масштаба производства вводят показатель ε(х), называемый эластичностью производства и определяемый следующие образом:

             (14)

     Этот  показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов х. Для производственных функций, удовлетворяющих соотношению (13), получаем .

     Можно установить связь между эластичностью  производства и эластичностью выпуска по отношению к изменению затрат ресурсов ε_i(х). Учитывая, что

             , (15)

     тогда

= = (16)

     Таким образом, эластичность производства в  некоторой точке пространстве ресурсов равна сумме эластичности выпуска по отношению к затратам производственных ресурсов в этой точке.

     В случае единственного ресурса, например в  функции (6), эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по отношению к изменению затрат ресурса. Для производственных функций с постоянной отдачей от расширения масштабов производства (13) связь между эластичностями выпусков и эластичностью производства приобретает вид:

            . (17)

     Рассмотрим  производственные функции, удовлетворяющие  четырем сформулированным выше предположениям, а именно: (9), (11). (13), (17). Возьмем t, удовлетворяющее условиям 0 < t < 1. Из условия (12) получаем:

     

.

     Поскольку в силу (9) имеем , то . Из соотношения (13) получаем , т. е. для выпуклых вверх производственных функций имеет место невозрастающая отдача от увеличения масштаба производства. Если производственная функция является строго выпуклой, условие (12) выполняется со знаком строгого неравенства (δ < 1). Это означает, что отдача от увеличения масштаба может быть только убывающей. Таким образом, для производственных функций, удовлетворяющих четырем соотношениям, в силу (17) и неотрицательности эластичности выпуска по ресурсам существует ограничение по эластичности выпуска:

            . (18)

Таким образом, в основе производствен. функций лежат предположения, приведенные на рис.4.

Билет №24

Возможности  замещения ресурсов

     Возьмем производственную функцию с двумя ресурсами:

            . (19)

     Функции такого типа часто используются при  описании народного хозяйства или  его структурных единиц. В таких  производственных функциях величина у имеет смысл конечной продукции народного хозяйства, x₁ - общего количества основных фондов, x₂- общего количества трудовых ресурсов в стране.

     Функция (19) удовлетворяет всем предположениям предыдущего раздела, причем для нее δ= 1. Поэтому можно построить функцию φ(х), которая в данном случае будет показывать объем продукции на 1 трудящегося и имеет вид:

     

,

где χ- отношение количества основных фондов к численности трудящихся, т. е. фондовооруженность.

     График  функции  совпадает в этом случае с графиком производственной функции с одним ресурсом. Возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта у может быть произведено различных сочетаниях ресурсов. Совокупность таких сочетаний ресурсов, т.е. точек в пространстве ресурсов, при котором может быть произведено определенное количество продукции у, называется изоквантой и обозначается:

           Q(y₀) = {x: f(x) = y₀}. (20)

     Рассмотрим  произвольный луч в пространстве ресурсов, исходящий из начала координат и лежащий в положительном ортанте. Математически этот луч описывается как множество:

     L = {x: x = tx⁰,t≥0},x⁰≥0.

     Согласно  соотношению (13), получается, что для точек луча L имеет место соотношение:

     

     Если  и , то при достаточно больших t выпуск продукции на луче может достичь любых предварительно заданных величин, в том числе и y_0.

     Пусть тогда в точке х* = луч L пересекается с изоквантой Q(yo). В точках луча, лежащих ближе к началу координат, т. е. t < t₀, выполняется соотношение у < у_о. А в точках луча, лежащих от начала координат дальше чем точка х*, имеем у > уо. Поскольку данное утверждение верно для любого луча с положительным направляющим вектором х° - таким, что , то можно сделать следующие выводы о свойствах изоквант:

• изокванты не пересекаются друге другом;
• изокванта Q(yo) разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на 2 множества: в одном из которых у < у_о, в другом у > у_о, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Q(yo);
• большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленна от начала координат;
• изокванты не имеют общих точек с осями координат.

     Одна  из изоквант производственной функции  изображена на рис. 5. Луч L представлен на рисунке отрезком ОА. Изокванта Q(yo) представляет собой зависимость X2(xi). Уравнение изокванты (20) задает эту зависимость неявно:

     В явном виде получаем

             (21)

      Рис. 5.

     Функция х₂(х₁), имеющая смысл количества трудовых ресурсов, необходимых для получения заданного конечного продукта в зависимости от использующегося объема основных фондов, является монотонно убывающей функцией. При ¶f/¶ х₂ > 0 вдоль изокванты выполняется соотношение: