Множество всех коэффициентов затрат всех секторов рассматриваемой экономики, представленной в форме прямоугольной таблицы, соответствующей таблице межотраслевого баланса, называется структурной матрицей этой экономики. Технологические коэффициенты образуют следующую квадратную матрицу n-го порядка:

На практике структурные матрицы обычно вычисляются  на основе межотраслевого баланса в  стоимостном выражении. Но во всех случаях коэффициенты затрат должны интерпретироваться как отношения двух количеств, измеренных в физических единицах.

Билет №20

Решение системы балансовых уравнений

Из определения  технологических коэффициентов вытекает:

Следовательно, балансовые уравнения можно записать так:

Или в  матричной форме:

Введя обозначения:

получим матричное уравнение откуда:

Умножим полученное уравнение на (Е-А)^-1:

откуда:

Планирование  материального производства начинается с определения размеров и структуры общественного продукта. Решение матричного уравнения позволяет определить плановый объем производства отдельных продуктов таким образом, чтобы получить необходимые количества конечных продуктов. Полученное выражение позволяет быстро разработать разные варианты плана материального производства в соответствии с вариантами заданного конечного общественного продукта.

Введем  обозначение:

Тогда можем записать: 

Умножив, получим:

Данное  уравнение показывает, что элементы матрицы  есть величины, определяющие количественные соотношения между конечными продуктами всех отраслей и продуктами каждой отрасли. Постоянные A_ij показывают, насколько увеличится выпуск U_i сектора i при увеличении k_j, т. е. количества товара j, потребляемого домашними хозяйствами (или любым другим потребителем этого сектора) на единицу.

В качестве примера рассмотрим нашу трехсекторную  экономику, где матрица технологических коэффициентов равна:

Примем  два варианта потребности в конечном продукте:

1. k₁ = 50;  k₂= 100,
2. k₁ = 75;  k₂= 110.

Тогда

Для второго  варианта имеем:

 

     С помощью модели межотраслевого баланса решаются и другие задачи: определение занятости в производстве; определение совокупных затрат труда; распределение совокупного общественного продукта и.т.д. 
 
 

Билет №21

Определение цен продукта

     Цены  в системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что  цена единицы выпуска соответствующего производственного сектора должна быть равна совокупным издержкам в процессе производства этой продукции (в расчете на единицу выпуска). В эти издержки входит не только оплата затрачиваемых ресурсов, но и добавленная стоимость, которая представляет собой в основном платежи секторам конечного спроса (d_i). Эти платежи состоят обычно из зарплаты, процента на капитал, предпринимательской прибыли, налогов, выплачиваемых правительству и другим секторам конечного спроса.

     Обозначим через p_i цену единицы i-го продукта. Тогда балансовые уравнения можно записать так:

      Сократив в обеих частях уравнений  U_i получим систему уравнений:

     

     или в матричной форме:

     

     где А^T- транспонированная матрица технологических коэффициентов, а р и D - вектора цен и платежей секторам конечного спроса соответственно.

     Матричное уравнение можно представить  в виде:

     

     откуда  получим в окончательном виде:

     

     Данное  уравнение позволяет определить соответствующую цену продукт отрасли. Элементы матрицы измеряют зависимость цены р_j продукции сектора j добавленной стоимости d_i, полученной в секторе i в расчете на единицу продукции этого сектора.

     В применявшемся выше примере добавленная  стоимость, выплаченная в сельском хозяйстве и промышленности (т. е. зарплата), в расчете на единицу выпуска составляет 0,6 и 0,22 соответственно. Транспонированная матрица технологических коэффициентов равна:

     

     Далее рассчитываем:

     

, 

     Тогда цены равны:

     

,

т. е. цены на сельскохозяйственную и промышленную продукцию, используемые при расчете стоимостных показателей межотраслевых потоков.

     Внутреннее  единство стоимостных и физических взаимосвязей в рамках открытой системы межотраслевых связей подтверждается следующим тождеством:

     

     В левой части соотношения находится  общая сумма добавленных стоимостей, выплаченная секторами системы секторам конечного спроса; в правой части - сумма стоимостей продуктов, доставленных всеми секторами секторам конечного спроса.

Билет №22

Разработка  плана предприятия  методом  межотраслевого  анализа

Метод межотраслевого анализа применим и для такой  экономической системы, как предприятие. В этом случае место отраслей займут цеха, а конечного продукта - товарная продукция предприятия. Допустим, что предприятие состоит из п производственных цехов, производящих однородные продукты 1, 2, ..., п. Основа технико-экономического плана промышленного предприятия есть система технико-экономических норм. В эту систему входят:

   1. Нормы затрат .продуктов собственного производства в отдельных цехах; эти нормы можно представить в виде матрицы:              

   2. Нормы расхода сырья, основных материалов, топлива и электроэнергии на единицу продукта, произведенного в соответствующем цехе; эти нормы можно записать в виде матрицы:

   

.

   3. Нормы времени работы машин и оборудования; эти нормы можно представить в виде матрицы:

   

.

   4. Нормы, определяющие время работы отдельных групп персонала, необходимое для производства единицы продукта в соответствующем цехе; эти нормы можно представить в виде матрицы:

   

.

     Обозначим через U_i совокупную продукцию i-го цеха, а через k_i, - товарную продукцию этого цеха, т. е. ту часть совокупной продукции, которая остается после обеспечения производственных цехов и предназначается для сбыта. Поскольку затраты продукции i -го цеха на единицы продукта j-го цеха определяются по матрице ,(i,j = 1,2,...,n) можно записать следующую систему уравнений:

     

     или в матричной форме:

     U=HzU + K.

     Решение, данного уравнения есть матрица:

     U=(E - Hz)^-1 К.

     Отсюда  следует, что матрица продукции  есть произведение матрицы норм полных затрат продуктов, произведенных отдельными цехами, и вектора плановой товарной продукции предприятия.

     Матрица Hs норм расхода сырья, материалов, топлива и электроэнергии есть основа плана материально - технического снабжения. Из матрицы Hs следует, что расходы отдельных видов сырья и материалов составляют:

     

     или в матричной форме:

     R = HsU.

     Подставляя  выражение для определения матрицы товарной продукции, получаем:

     R = Hs(E-Hz)^-lK.

     Элементы  произведения Hs(E-Hz)^-lможно назвать коэффициентами полных затрат сырья и материалов. Матрицу потребности в сырье и материалах можно получить, умножив матрицу коэффициентов полных затрат сырья и материалов на вектор товарной продукции.

     Матрица Нm - основа плана использования машин и оборудования. Использование машин и оборудования в производстве составляет:

     

,

     или в матричной форме:

     M = Нm U = Нm (E-Hz)^-1 К.

     Элементы  матрицы Нm (E-Hz)^-1 называются коэффициентами полного иcпользования машин и оборудования. Матрицу плана использования машин оборудования можно получить, умножив матрицу коэффициентов полного иcпользования машин и оборудования на вектор товарной продукции.

     Матрица hl- основа плана по труду. Матрица рабочей силы есть:

     L = Hl.U = hl (E- Hz)^-1 К.

     Элементы  произведения hl (E- Hz)^-11 называются коэффициентами полных затрат рабочей силы. Матрица плановых затрат рабочей силы представляет собой произведение матрицы коэффициентов полных затрат рабочей силы и вектора товарной продукции.

     Матричная форма технико-экономического плана  в значительной мере упрощает планирование и уменьшает его трудоемкость: она позволяет быстро разработать различные варианты технико-экономического плана

Билет №23

Свойства  производственных функций

     Обратимся к некоторым наиболее общим свойствам  производственных функций, имеющих форму , т. е. функций выпуска, допускающих замещение одного ресурса другим. Рассмотрим в данном разделе функции с одним продуктом и несколькими ресурсами – трудовыми и материальными.

     Вектор  параметров а в данном соотношении будем опускать, считая, что параметры уже определены и их влияние нас не интересует. Тогда функция выпуска приобретает вид:

       , (8)

     где: - вектор.

     Соотношение (8) задано при неотрицательных значениях  компонентов вектора х.

     Обычно  относительно производственной функции (8) делают предположение, очень удобное с математической точки зрения, - о непрерывном изменении переменных х и достаточно плавном изменении выпуска при изменении затрат ресурсов. В математической форме эти предположения имеют следующий вид: функция (8) задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х и является непрерывной или нужное число раз дифференцируемой функцией своих аргументов.

     Перейдем  к формулировке предположений (свойств), имеющих под собой экономическое  обоснование. Для этого нам потребуются  показатели предельного анализа.