В матричных  обозначениях вектор производственных затрат равен AХ. Тогда свободный остаток равный Y = X – AX будет использован на непроизводственные цели и накопление. Основной вопрос, возникающий в планировании производства на заданный период, однако, формулируется, как правило, наоборот: при заданном векторе Y КП требуется решить систему:

X – AX = Y, X ≥ 0. (3.3)

Условие неотрицательности вектора X создает определенные трудности при исследовании вопроса о существовании решения системы (3.3).

Приведенные выше уравнения вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов X, Y

называется  моделью Леонтьева. В том случае когда решение системы (3.3) существует для любого неотрицательного вектора Y конечного спроса, говорят, что модель Леонтьева (и матрица А) продуктивна.

Особенность матриц A в модели Леонтьева состоит в том, что все элементы этой матрицы неотрицательны (A ≥ 0).

Рассмотрим  балансовую модель, двойственную к  модели Леонтьева (модель равновесных цен). Обозначим через p = (p1, p2, …, pn) – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда i-я отрасль получит доход, равный pixi.

Часть дохода эта отрасль потратит на закупку  продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли, второй отрасли и т.д. соответственно в объемах a1i, a2i, ..., ani. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма

 a1ip1 + a2ip2 + . .. + anipn.

Для выпуска  xi единицы продукции затраты составят

xi(a1ip1 + a2ip2 +...+ ani pn).

Оставшуюся  часть дохода, называемую добавленной  стоимостью, обозначим через Vi (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующие уравнения:

pi – (a1ip1 + a2ip2 + ... + ani pn) = vi, i = 1, 2, ..., n, (3.5)

где vi – норма добавленной стоимости (добавленная стоимость на единицу выпускаемой продукции). Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

p − AT p = v , (3.6)

где v – вектор норм добавленной стоимости, AT – матрица транспонированная для A. Полученная система уравнений является двойственной к системе уравнений модели Леонтьева.

Система (3.6) называется прибыльной, если она  разрешима в неотрицательных p ≥ 0.

Продуктивность  и прибыльность модели Леонтьева  эквивалентны: из продуктивности следует  прибыльность и наоборот.

Билет№15

Какой смысл имеют коэффициенты технологической  матрицы А модели Леонтьева?

Технологическая матрица А (матрица Леонтьева) используется для моделирования экономик по методу «затраты – выпуск». Технологическая матрица А вводится как квадратная матрица коэффициентов затрат, названных «прямыми», на основе канонической формы системы линейных уравнений. Элементы матрицы А – a_ik  показывают, сколько продукции, выпущенной i-ой системой, надо затратить для производства единицы продукции k-ой системы.

Технологические коэффициенты для производимых товаров  можно представить квадратной технологической матрицей:

Подставим в матрицу технические коэффициенты:

В матричных  обозначениях эта система уравнений  принимает вид:

Матричную форму  модели прямых затрат принято записывать в виде │1 - A│x = 0 , где А – квадратная матрица коэффициентов затрат aik  размером I*I ; 1– единичная диагональная матрица; x – вектор затрат размером I.  Локальные потоки затрат x_ik i-ой системы зависят от общих затрат x_k k-ой системе x_ik=a_ikx_k. Тогда общий объем прямых затрат i-ой системы равен сумме локальных затрат на приобретение продуктов у других систем

Билет №16

Метод  межотраслевого  анализа

Создатель теории межотраслевого анализа экономических  систем - Василий Васильевич Леонтьев. По определению академика А. Г. Гранберга, сущность и сила межотраслевого анализа В. В. Леонтьева состоит в соединении теории функционирования экономических систем, метода математического моделирования, приемов систематизации и обработки экономической информации. Типичный продукт и вместе с тем предмет межотраслевого анализа – межотраслевой баланс экономики. Это и система показателей, характеризующих соотношения, структуру, связи экономики, и математическая модель, позволяющая не только изучать взаимовлияние множества экономических величин, но и конструировать возможные (альтернативные) состояния экономики.

Экономическая система, для исследования которой применяется метод межотраслевого анализа, может быть большой, как народное хозяйство страны или даже вся мировая экономика, или малой, такой как экономика региона или даже одного предприятия.

В любом  случае подход в основном один и тот же. Структура производственного процесса в каждом секторе представляется определенным вектором структурных коэффициентов, который количественно характеризует связь между затратами этого сектора и результатами его деятельности. Взаимозависимость между секторами рассматриваемой экономики описывается системой линейных уравнений, выражающих балансы между совокупными затратами и агрегированным выпуском каждого продукта и услуг, производимых и используемых в течение одного или нескольких промежутков времени.

Соответственно, технологическая структура системы  в целом может быть представлена матрицей технологических коэффициентов  «затраты-выпуск» всех ее секторов. В то же время эта матрица содержит множество параметров, на которых  основываются балансовые соотношения. 

Билет №17

Таблица межотраслевого баланса

Таблица межотраслевого баланса описывает потоки товаров  и услуг между всеми секторами народного хозяйства в течение фиксированного периода времени, например года.

Упрощенный  пример такой таблицы, отражающий трех-секторную экономику приведен в табл. 1.

Таблица 1

 

Девять чисел, составляющих основное содержание таблицы, характеризуют межсекторные потоки. Каждый сектор производит продукцию, часть которой используется внутри него самого, остальная часть распределяется и потребляется другими секторами.

В столбцах числа  описывают структуру затрат соответствующего сектора. То есть, сколько нужно одной  отрасли потребить собственного продукта и продукта других отраслей , чтобы произвести определенное количество своего совокупного продукта.

Предполагается, что все числа в табл. 1 представляют количества или, по крайней мере, физические индексы количеств определенных товаров или услуг. Более детализированная таблица межотраслевого баланса позволяет получить более определенную характеристику каждого отдельного числа.

Билет №18

Балансовые  уравнения

Всю производимую отраслями продукцию удобно разделить  на две части: промежуточный продукт  и конечный продукт.

Промежуточный продукт - это та часть совокупного продукта, которой производители обмениваются между собой или используют для собственных нужд.

Конечный  продукт - это продукция, предназначенная для потребителей.

Сектор  конечного спроса - это сектор, где потребляется конечный продукт -домашние хозяйства, экспорт, правительственные закупки.

Обозначения: U – общий выпуск; V – промежуточный продукт; k – конечный продукт.

Объем продукции данной отрасли равняется  сумме потоков продукции этой отрасли в другие отрасли, продукции, потребляемой в данной отрасли, и конечного продукта данной отрасли. Следовательно, баланс между совокупным выпуском и суммарными затратами продукции каждого сектора, показанный нашем примере, может быть описан следующей системой уравнений:

.

Эти уравнения  называются балансовыми уравнениями производства. Для экономики с n отраслями балансовые уравнения будут иметь вид:

Изложенная  модель получила название модели «затраты-выпуск», или модели межотраслевого анализа (англ.: Input - Output Analysis).

Билет №19

Технологические коэффициенты

Объем выпуска сектора i, используемого сектором j при производстве единицы его совокупного выпуска j, обозначается символом a_ij и называется технологическим коэффициентом затрат продукта i в секторе j.

Представим вычисление технологических коэффициентов для примера трехсекторной экономики в табличном виде (табл. 3).

Таблица 3