=  (22)

     Из  условия (11) получается, что γ≤0, а при строгой положительности предельных эффективностей ресурсов γ < 0. Величину γ принято называть предельной нормой замещения одного ресурса другим. Она показывает, сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.

     Предельная  норма замещения γ имеет отрицательную величину, т. к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить. На рис. 5 предельная норма замещения а совпадает по величине с тангенсом угла φ. Можно заметить, что , а угол φ и величина γ меняются при движении вдоль изокванты

     Для производственной функции  имеем:

             (23)

     Из  формулы следует, что для функции (19) абсолютная величина предельной нормы замещения труда основными фондами обратно пропорций фондовооруженности х₁/х₂. Этот факт можно легко объяснить: увеличение фондовооруженности приводит к уменьшению количества трудовых ресурсов, высвобождаемых каждой новой единицей основных фондов. Такой результат тесно связан со свойством (13) функции (19).

     Линии называют изоклиналями производственных функций с двумя ресурсами. Для функции (19) изоклинали имеют вид:

     

     На  рис. 6 представлены две изокванты, Q (у₀) и Q (у₁), и три изоклинали соответствующие значениям нормы замещения, , и , где для производственной функции (19).

Рис. 6

     Величины  углов φ₁,φ₂ и φ₃ удовлетворяют соотношению:

     

,

     а уравнения изоклиналей выглядят так:

     

     В данном случае изоклинали имеют особенно простой вид – они являются лучами, исходящими из начала координат.

     Такое свойство имеют изоклинали для важного  класса производственных функций - однородных функций.

     Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты используется понятие эластичности замещения ресурсов :

             (24)

     Эластичность  замещения ресурсов имеет следующий  экономический смысл – она приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельна норма замещения у изменилась на 1%.

     Для производственной функции (19) эластичность замещения ресурсов имеет простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой функции – прямые линии, то отношение х₂/х₁ характеризуется тангенсом угла наклона изоклинали (см. рис. 5). Поэтому величина δ показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т. е. изменить tgξ), чтобы tgφ изменился на 1%.

     Как и в случае эластичности выпуска по ресурсу, эластичность замещения ресурсов также может быть представлена в более удобной форме:

     Для производственной функции (19), учитывая соотношение

     

, получаем:

     

=1

     Постоянство эластичности замещения ресурсов σ многих производственных функций позволяет охарактеризовать с ее помощью возможность замещения ресурсов в целом (а не при каком-то конкретном соотношении ресурсов, как удается на основе предельной нормы замещения γ). Чем больше σ, тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.

     Все изложенные понятия, относящиеся к  анализу замещения ресурсов в  производственных функциях с двумя ресурсами, могут быть обобщены и на случай произвольного числа ресурсов. Понятие изокванты (20) с самого начала введено для произвольного числа ресурсов. Продифференцировав функцию вдоль изокванты, получим:

            . (25)

     Зафиксируем затраты всех ресурсов, кроме  i-ro и j-го. Получаем соотношение:

     

,

которое полностью  совпадает с соотношением (21) для производственной функции с двумя ресурсами. Это дает возможность ввести предельную норму замещения для ресурсов i и j:

        (25)

     где . Величина характеризует отношения между малыми изменениями количеств этих ресурсов при сохранении выпуска на прежнем уровне.

      Можно ввести понятие эластичности замещения ресурсов i и j:

             =  (26)

     где по-прежнему меняются объемы только двух ресурсов, i-го и j-го, а производная берется вдоль изокванты.

     Эластичность  замещения ресурсов i и j приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов i и j, чтобы при этом предельная норма замещения этих ресурсов изменялась на 1%.

     Итак, основными показателями анализа  замещения ресурсов являются параметры, приведенные в табл. 1.

Билет №25

Линейная  функция

     

     У данной функции предельные производительности факторов постоянны, эластичность замены факторов - бесконечна. Функция может использоваться в тех случаях, когда вклад каждого ресурса независим, например: производственная система состоит из отдельных производственных единиц, каждая из которых использует свой собственный производственный ресурс, подходящий только для этого производства. 

Билет №26

Функция Аллена

                                            .

     Такая функция предназначена для описания производственных процессов, в которых  чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное воздействие на объем выпуска. Обычно такая функция используется для описания мелкомасштабных систем с ограниченными возможностями переработки ресурсов.

Билет №27

Функция с линейной эластичностью  замены факторов (функцияLES)

                                              .

     Функция LES применяется для описания производственных процессов, у которых (в отличие от описываемых функцией CES) возможность замещения вовлекаемых факторов существенно зависит от их пропорций, причем при низком уровне отношений х₁/х₂ близка к единице, а с ростом отношения х₁/х₂ - неограниченно возрастает. Такая ситуация возможна, например, если рост ресурсов х₁ связан с общим расширением производства, появлением множественных технологических процессов с широкими возможностями комбинирования.

Билет №28

Функция  Солоу

                                      .

     Характеризуется тем, что величина процентного изменения  предельной нормы замещения факторов, вызванного увеличением любого фактора на один процент, не зависит от начального уровня фактора. Эта функция может использоваться, когда влияние на объем выпуска увеличения каждого из факторов проявляется различным образом.

Билет №29

Ограниченная  функция CES

                          .

     Функция предназначена для выражения двухрежимного производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой - ненулевой постоянной величиной эластичности замены При этом переход от одного режима к другому осуществляется в зависимости от уровня, лимитирующего первый режим фактора.

Билет №30

Многорежимная функция  

.

     Одна  из наиболее общих форм производственных функций. Она используется при описании процессов, в которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меняется в зависимости  от соотношения  факторов. Функцию целесообразно применять при наличии информации о числе режимов n и о ширине «переходной» области между режимами (чем выше а₀, тем более отчетливо выделяются режимы).

Билет №31

Функция  линейного программирования

                                     .

     Функцию имеет смысл использовать в тех  случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования k-фиксированных технологий, использующих одни и те же ресурсы.

Билет №32

Описание технического прогресса

     При построении производственных функций  научно-технический прогресс может  быть учтен с помощью множителя  , где параметр λ, характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-технического прогресса:

     

, .

     Данная  производственная функция является примером динамической производственной функции. Она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов технический прогресс. Другим подходом является .выражение технического прогресса от прироста основных фондов в году t или от инвестиций в научные исследования, что эконометрически предпочтительней В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу:

     

,

где К- основные фонды; L - трудовые ресурсы; A(t) и B(t) - заданные функции времени, причем А(t) описывает повышение эффективности использования основных фондов; B(t) - трудовых ресурсов.

Билет №33

Функция затрат и их свойства

     Рассмотрим  функцию выпуска у =f(х) с одним продуктом и единственным ресурсом. Пусть эта функция - непрерывно дифференцируемая и удовлетворяет условиям:

           f(0)=0; f’(x)>0 ,при х>0. (1)

     В этом случае существует непрерывно дифференцируемая обратная функция: х = h(y). Это – функция  затрат. В качестве примера функции f(х) можно рассмотреть функцию выпуска

     представленную  в виде функции затрат

.

     Рассмотрим  свойства функции затрат x = с(у). Из условия f(0)=0 следует, что

      с(0) = 0, (2)

т. е. в случае отсутствия выпуска продукции тратить  ресурс нет необходимости. Из условия  f''(x)>0 ,при х>0 следует, что

      c'(y) = l/f'(x)>0, (3)

это означает, что с ростом выпуска продукции  затраты ресурса растут. Функцию  c'(у) принято называть предельными затратами ресурсов. Как видно из (3), предельные затраты ресурса обратно пропорциональны предельной эффективности ресурсов.

     Предположим, что для функции f(х) выполнено предположение об убывании предельной эффективности ресурса, т. е f''(х) <0. Тогда из (3) получаем, что функция с'(у) монотонно возрастает и

           с"(у)>0. (4)

     Введем  понятие средних удельных затрат ресурса: g(y) = х/у. Отношение предельных затрат ресурса к средним удовлетворяет соотношению:

     

,

где а(х) - эластичность выпуска по ресурсу для f(х).

     При выполнении предположения о том, что f''(х) <0, получаем, что а(х) < 1. Поэтому в таком случае предельные затраты ресурса больше средних. Для функции затрат х = y^l/a, порождаемой функцией выпуска .у = х^a, получаем: