Лекции по "Экономике"

С_и - стоимость единицы готовой продукции;

С_е - затраты на хранение в%к стоимости единицы продукции;

              В случае с готовой продукцией, в отличие от сырья, ее пополнение  на складе осуществляется не  при помощи приобретения на  стороне, а за счет собственного производства. При этом производство продукции разного наименования при переходе с одного вида на другой требует затрат на переналадку оборудования.

     - стоимость одной переналадки;

      Z/q - количество переналадок в плановом периоде;

                    - затраты на пополнение запаса готовой продукции;

                В соответствие с методологией  управления запасами сырья можно   записать  значение целевой функции  управления  запасами готовой продукции:

Приравнивая две части можно определить все  параметры готовой продукции:

 
 
 
 
 
 

Тема№5: “Динамическое программирование и его использование при решении экономических задач”.

1. Динамическое программирование, его сущность и области применения.

2. Использование  динамического программирования  для решения задач совершенствования  технической политики на предприятии.

3. Механизм  решения усложненных задач динамического  программирования. 

                  1. Рассмотренные ранее задачи относятся к статическим линейным задачам, т.к. не предполагают изменения рассматриваемых параметров во времени, а результаты полученных решений только констатируют факт изменения показателя по причинам, которые, как правило, в модели отсутствуют. Причем все неизвестные, рассмотренные в предыдущих задачах, являются линейными, т.е. используются в задачах в степени =1. На практике же очень часто наблюдается изменение различных экономических характеристик, обусловленное инфляционными и другими техническими и организационными причинами, т.е. рассматриваемые экономические параметры имеют определенную динамику изменения. Такие динамические процессы не могут быть рассмотрены изученными ранее статическими методами оптимизации. Для их изучения и анализа необходимо использовать специальные методы, одним из которых является динамическое программирование.

              Динамическое программирование  применяется для отыскания оптимальных  решений в условиях многоэтапных  развивающихся производственных процессов. Трудность анализа развивающихся процессов, на каждом из этапов которого может применяться то или иное решение, состоит в следующем:

              1). При планировании деятельности  на очередном этапе необходимо  не только учитывать то состояние процесса, которое сложилось к данному моменту, но и предвидеть последствия, к которым приведет принятое решение на дальнейших этапах.

             2). В большинстве практических  многоэтапных задач сама запись  выражения целевой функции, не  говоря о решении задачи, является чрезвычайно затруднительной.

              3). По мере увеличения числа  рассматриваемых этапов, а следовательно  и числа переменных, сложность  задачи резко возрастает.

Задача  значительно упрощается, если использовать при ее решении подход, в основу которого положен фундаментальный принцип теории динамического программирования, а именно принцип оптимальности. Принцип оптимальности раскрывает основное свойство оптимальной стратегии и состоит в следующем: каковы бы ни были решения на предшествующих этапах и текущее состояние процесса, к очередному этапу решения на данном этапе и все последующие должны составлять оптимальную стратегию.

               Смысл задачи динамического программирования, отражающий многоэтапные процессы, состоит в выборе на каждом этапе такого значения переменной, которое обеспечивало бы экстремальное значение целевой функции. При этом значения переменных определяются последовательно, этап за этапом, причем в противоположном направлении относительно рассматриваемых периодов. 

             2. Осуществление технической политики  на предприятии в настоящее  время является очень сложной  экономической задачей. Эта сложность  определяется тем, что основные  фонды предприятия в настоящее  время изношены практически на 80-90%, свободных финансовых ресурсов на предприятиях не хватает для своевременного обновления основных средств. Теория динамического программирования позволяет решать задачи совершенствования технической политики в данных непростых условиях и получать значительный экономический эффект. Одной из основных задач технической политики предприятия является задача о замене оборудования, которая формулируется следующим образом: предприятие располагает некоторой суммой финансовых ресурсов в определенном периоде - &. С_к - стоимость одной единицы оборудования или комплекта. Приобретенное оборудование сразу включается в производственную эксплуатацию и используется в производственном процессе. Использование единицы оборудования обеспечивает за год определенную сумму прибыли - П_р. В конце каждого года (этапа планового периода) предприятие может выделить некоторую долю прибыли на приобретение дополнительного оборудования. Данная прибыль - *,. 0<=X <=4. Тогда фактически остающаяся в распоряжении предприятия прибылъ=1-х от max возможной прибыли. Ставится задача максимально планировать приобретение оборудования и, в связи с этим, расширение производства, чтобы сумма фактической прибыли за период была максимальной. Решением на каждом этапе является вывод значения параметра X , т.е. доли прибыли, отчисляемой на приобретение дополнительного оборудования.

              В зависимости от величины  планового периода определяется  количество этапов, на которых  необходимо принимать решение. Причем необходимо соблюдать следующие условия:

                            x       x     x      x     x  

                   0       1        2       3       4        5       6

          Обозначим через Х , Х , Х , Х , Х переменные, значение которых и определят указанные доли отчислений от прибыли на соответствующих этапах. Через n обозначим количество комплектов оборудования, внедряемых в производство на каждом из этапов соответственно. Через f обозначим фактическую прибыль, остающуюся в распоряжении предприятия после приобретения им оборудования. Тогда можно записать формальную запись основных параметров задачи применительно к каждому из рассматриваемых этапов:

         1.                             2.  

         3.                    4.      

                                                          

                                      5. 

       

               В конце последнего этапа имеется строго определенное значение x , которое определяется тем, что приобретение оборудования на данном этапе с точки зрения рассматриваемого периода экономически не оправдано, т.к. отдача от данного приобретения будет получена в период выходящий за рамки рассматриваемого. Поэтому на заключительном этапе значение f будет равно:

           Исходя из этого, можно построить  математическую модель решения  данной задачи. Уравнение целевой функции можно записать следующим образом: 

F=

            Из данной записи видно, что  целевая функция является функция  3-х переменных: х , х , х . Задача заключается в выборе таких значений указанных  неизвестных, которые давали бы max суммарную прибыль от замены старого оборудования новым. В рассматриваемом примере состояние процесса начало очередного этапа полностью характеризуется 2-мя параметрами: 

1). Количеством комплектов действующего оборудования n ;

2). Суммарной  прибылью, накопленной к этому  моменту времени f .

         Используя принцип оптимальности  в процессе расчетов и продвигаясь  от последнего этапа к предшествующему, можно построить последовательно-оптимальную стратегию и получить оптимальное решение.

           Обозначим через F суммарную прибыль за 1-й этап, F - за 2-й этап, F - за третий этап. Тогда к началу 4-го этапа состояния процесса характеризуются значениями F и n . Т.к. в конце 4-го этапа приобретать оборудование нецелесообразно, то суммарная прибыль может быть определена по формуле:

F= F

+П * n

             Подставим   данную   формулу   в   значение   n и  F и, преобразовывая формулу, получим:

   

             Если значение  больше, чем значение прибыли в соответствии с нашими исходными данными, то значение x принимается равным единице, если наоборот, то значение x принимается равным нулю. После подстановки значения x в соответствии с условиями, рассмотренными ранее, в формулу подставляется значение других этапов.

            Данный итеративный процесс продолжается  до получения общего результата  на первом этапе, что позволяет нам сделать вывод об оптимальной стратегии, связанной с приобретением оборудования. 

3. В  рассмотренном примере сделана  оговорка, связанная с тем, что  прибыль в расчете на единицу  внедряемого оборудования остается  постоянной. На практике же действует эффект синергии, который заключается в том, что увеличение прибыли при росте количества единиц оборудования не прямопропорционально увеличению данного количества. Тогда на 3-м этапе мы получаем следующую запись значения целевой функции:

      

                 Наибольшее значение целевой  функции в данном случае, как  и в предыдущем, может быть  достигнуто соответствующим выбором  значения x . Но теперь данный выбор зависит от состояния процесса. Так, если n таково, что Ln n =1, то max значение прибыли достигается при x =0. Если же n увеличивается так, что Ln n =3, то выбор значения x =0 уже не обеспечивает достижения max прибыли. Поэтому на каждом из этапов необходимо рассматривать все возможные варианты значений вводимого оборудования от 0 до max величины.