Моделирование и анализ установившихся режимов роботы электрических систем

    

        Собственные проводимости узлов  схемы:

                                   

        В памяти ЭВМ запоминается верхняя половина матрицы (её ненулевые элементы). 
 

        Система уравнений (4) – это  система уравнений узловых напряжений  в форме баланса токов и  содержит n уравнений относительно n напряжений в узлах. В таком виде она не может дать искомое решение для всех комплекс-ных напряжений, так как:

       1. Если  является решением ( i= 1 … n ) системы уравнений, то тоже является решением, так как это соответствует пово-роту всех векторов напряжения на угол . Множитель входит во все решения и может быть сокращен. Задавая разные значения можем получить множество решений системы уравнений;

        2. Если в узлах не задать (не зафиксировать) ни од-ного напряжения, то можно получить решение, не имею-щее практического смысла (например, отрицательные напряжения в узлах, либо напряжения не соответствую-щие своему классу напряжений и т. д.). При этом баланс токов в узлах будет соблюдаться. 

      Решение этой проблемы: в сети выбирают один (или несколько) узлов, в которых фиксируют модуль и угол напряжения. Это узлы с фиксацией векто-ра напряжения (ФВ). Такие узлы называются  базисными или опорными по напряжению = const. В сети должен быть хотя бы один такой узел. Во всех остальных узлах схемы напряжения рассчитывается относи-тельно опорного. В схеме им соответствуют, как правило шины электростан-ций или мощных подстанций. Как правило опорный узел по напряжению сов-падает с балансирующим по мощности. Для упрощения расчетов часто задают .

      Выделение в схеме сети опорных  узлов с ФВ (которые совпадают  с ба-лансирующими) приводит к  необходимости  исключения из системы (4) урав-нений, соответствующих этим узлам (т.к. уменьшается число неизвестных нап-ряжений). 

    Пример:

                                                    Запишем для схемы систему  уравнений вида (4):

             

                                                                           

  Система уравнений в матричной форме:

                                                                                                   

 

                                                                               

           
 
 

        В качестве спорного узла выберем узел 4. Напряжение в нём задано.  Нужно исключить уравнение, соответствующее данному узлу 4, т.е. четвёртую строку в матрице и в вектор - столбцах.  В матрице выделим столбец и строку, соответствующие опорному узлу – номер 4.

        В  матрице и векторах выделяются  блоки и субвектора:

        Y_iОП – вектор – столбец взаимных проводимостей между узлами сети и опорным узлом;

        Y_ОПj – вектор – строка взаимных проводимостей между опорным узлом и другими узлами сети;

         Y – неполная матрица проводимостей, получаемая из полной удалением строк и столбцов соответствующих опорным узлам;

         Y_ОПОП – собственная проводимость опорного узла;

         - заданные напряжения в опорных узлах и токи в них;

         - вектор искомых напряжений в узлах сети;

          - вектор заданных токов в узлах сети. 

  С  учётом этого в блочной форме система уравнений может быть записана:

                        . 

Удаляем элементы (блоки), соответствующие уравнениям опорных узлов - Y_ОПj, Y_ОПОП, I_ОП.  Тогда по правилам умножения блочных матриц получаем:

                                               .

Переносим известные величины в правую часть:

       . 

Это система уравнений установившегося режима в матричной форме.

Это уравнения  в виде баланса токов. 

В результате преобразований можно получить другой вид этой системы урав-нений:

                      .  

      При задании в узлах сети  нелинейных источников тока  (генераторы  или нагрузки с постоянной  мощностью), установившийся режим  описывается нели-нейными  уравнениями:

                                            

     Эти уравнения – нелинейные  уравнения установившегося режима  в форме баланса тока. При задании  в узлах нелинейных источников  тока  установив-шийся режим сети  можно описать, также, нелинейными уравнениями в форме баланса мощности. 

В результате преобразований уравнения баланса мощности в матричной форме будут иметь вид:

    

                 

    

       Здесь  - диагональная матрица, на главной диагонали которой рас-

                              положены  сопряженные комплексы напряжений. 

  Лекция 10 

  Пример1:

 В качестве опорного узла выбираем узел 1, т.е. напряжение задано. Нужно опреде-лить . Запишем систему уравне-ний форме: 

              

Составляем уравнения установившегося режима для всех узлов сети:

  

          Первое уравнение исключаем, переносим элементы, содержащие заданное напряжение U₁ опорного узла в правую часть:

  

           Получаем систему из трёх линейных уравнений относительно 3-х неиз-вестных напряжений . В её правой части – известные величины.

В матричной форме она имеет вид:    

      Пример 2: 

      Составить систему линейных уравнений в форме баланса токов для задан-ной схемы.

Записать матрицу  проводимостей, вектор неизвестных  и вектор свободных

членов. 

Неизвестны  – напряжения 

      U_i = ? ,  i = 2…7. 
 
 
 
 
 
 
 

     

       

            | y₂₂           0 0 0 0 0  |                   U₂                  I₂ + y₂₁U₁

            |   0 y₃₃    -y₃₄ 0      -y₃₆ 0  |                 U₃                   I₃ + y₃₁U₁

            |   0       -y₄₃     y₄₄     -y₄₅ 0 0  |                 U₄                   I₄

          Y = |   0  0     -y₅₄ y₅₅ 0 0 |   ;      U = U₅   ;     I =    I₅                       .

            |   0       -y₆₃ 0 0 y₆₆    -y₆₇ |                           U₆                     I₆

            |   0  0 0 0       -y₇₆ y₇₇ |                           U₇                  I₇ 
 
 
 
 
 

     Пример 3:

     

Составить систему уравнений в    форме  баланса мощностей.

Сначала составим полную систему уравнений  в форме баланса токов. Представим токи в узлах в виде: 

        
 
 
 

       

     Умножим обе части каждого уравнения на сопряженный комплекс соот-ветствующего напряжения  U_i:

       

        Получили систему нелинейных  уравнений в форме баланса мощности. Неизвестными в ней является напряжения в узлах.