Ошибка  выборочной доли представляет собой  расхождение (разность) между долей в выборочной совокупности  (w) и долей в генеральной совокупности (p), возникающее вследствие не сплошного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной доли определяется как предел отклонения w от  p , гарантируемый с заданной вероятностью:

                      

                                (2)

     где        –   гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности   , с которой гарантируется невыход разности    w –p  за пределы ;  – средняя ошибка выборочной доли.

     Значения  гарантийного коэффициента  и соответствующие им вероятности приведены в табл.1.1. Обычно вероятность принимается равной 0,9545 или 0,9973, а   при этом равно соответственно 2 и 3.

     Значения  средней ошибки выборки определяются по формуле

                         

                               (3)

     где   – дисперсия в генеральной совокупно

     Между дисперсиями в генеральной и  выборочной совокупностях существует следующее соотношение:

                     

                              (4)

     где  – дисперсия в выборке.

                                                       Таблица 1

     Значения  гарантийного коэффициента 

 

     Если  n  достаточно велико, то  близко к единице и дисперсию в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.

     Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле

     

                                  (5)

     где  – дисперсия выборочной доли.

     Для показателя доли альтернативного признака (выборочной доли) дисперсия определяется по формуле

               

                     (6)

     Приведенная формула средней ошибки выборочной доли применяется при повторном отборе.

     При бесповторном отборе численность генеральной  совокупности сокращается, поэтому дисперсия умножается на коэффициент  Формулы расчета средних ошибок выборочной доли для различных способов отбора единиц из генеральной совокупности приведены в табл. 2.

     Таблица 2

     Формулы расчета средних ошибок выборочной доли и выборочной средней

 

     где            N     – численность генеральной совокупности;

                        – межсерийная дисперсия выборочной доли;

                      r      – число отобранных  серий;

                      R     – число серий в  генеральной совокупности;

                      – средняя из групповых дисперсий выборочной доли;

                       – дисперсия признака  x;

                        – межсерийная дисперсия выборочных средних;

                       – средняя из групповых дисперсий выборочной средней.

     Дисперсии в формулах расчета средних ошибок выборочной доли в табл.2 определяется следующим образом:

           – межсерийная дисперсия выборочной  доли

                   

                    (7)

     где    w_j  – выборочная доля в   j  -й серии;

              – средняя величина доли во всех сериях; 

          – средняя из групповых дисперсий

     

                (8)

     где      w_j     – выборочная доля в j  -й типической группе;

                  n_j   – число единиц  в j  -й типической группе;

                 k      – число типических  групп.

     Предельное  значение ошибки выборочной доли определяется по следующей формуле:

           

                   (9)

     Величина средней ошибки выборочной доли  зависит от доли изучаемого признака в генеральной совокупности, числа наблюдений и способа отбора единиц из генеральной совокупности для наблюдения, а величина предельной ошибки    зависит еще и от величины вероятности , с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.

     Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится с учетом доверительных интервалов. Доля альтернативного признака в генеральной совокупности равна

1.3.2 Ошибка  выборочной  средней

 

     Ошибка выборочной средней  представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней  и генеральной средней , возникающее вследствие не сплошного выборочного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения  от  , гарантируемый с заданной вероятностью:

                     

                    (10)

     где   – средняя ошибка выборочной средней.

     При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:

                          

                           (11)

     где  – средняя величина дисперсии количественного признака  , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной

                           

                   (12)

     или средней арифметической взвешенной

                        

                        (13)

     где     f_i     – статистический вес.

     Формулы расчета средней ошибки выборочной средней для различных способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.1.2.

     Межсерийная дисперсия выборочных средних  и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:

             

     (14,15)

     где  – среднее значение показателя    в j – й серии;

           – дисперсия признака   x   в   j – й типической группе;

            n_j    – число единиц в   j  - й типической группе.

     Предельная  ошибка выражается следующим образом:

                                

                        (16)

и зависит  от вариации изучаемого признака в  генеральной совокупности, объема и доли выборки, способа отбора единиц из генеральной совокупности и от величины вероятности, с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.      

     Средняя величина количественного признака в генеральной совокупности определяется с учетом предельной ошибки выборочной средней   
 
 
 
 
 
 

1.4. Объем выборки 

     Определение необходимого  объема выборки n  основывается на формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные ошибки равны

         

         (17,18)

     отсюда  объемы выборок для расчета выборочной доли  n_w  и выборочной средней n_x следующие:

           

          (19,20)

     Аналогичным образом определяются объемы выборок  при различных способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.3.

     Таблица 3

     Формулы расчета объема выборки

 

     где   n_w, n_x  – объемы выборок соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;