Статистическая совокупность

(188) 463.9                                                                    

(189) 465.1                                                                    

(190) 471.6                                                                    

(191) 483.3                                                                    

(192) 491.1                                                                    

(193) 495.2                                                                    

(194) 498                                                                      

(195) 499.2                                                                    

(196) 521.6                                                                    

(197) 526.5                                                                    

(198) 566.8                                                                    

--------------                                                                 

Составной частью обработки данных статистического наблюдения является построение интервальных рядов распределения. Цель его – выявление основных свойств и закономерностей исследуемой статистической совокупности. Интервал указывает определённые пределы значений варьирующего признака и обозначается нижний и верхний пределы интервала. Такие распределения наиболее распространены в практике статистической работы. В зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным, различают соответственно два типа рядов распределения – атрибутивные и вариационные.

              При построении интервальных рядов распределения необходимо прежде всего установить число интервалов, на которые следует разбить все единицы изучаемой совокупности. Автоматически устанавливается рекомендуемое системой число интервалов. В нашем примере —23. При этом следует иметь ввиду, что алгоритм определения числа интервалов (К=4,45 lnn), реализуемый в пакете STATGRAPHICS, дает завышенное число интервалов по сравнению с тем, что получается по известной Sturge's формуле: K = 1 + 3.322 Lg n. Следующим этапом анализа является табличное и графическое представление исходных данных. Статистическая таблица – форма рационального и наглядного изложения цифровых характеристик исследуемых явлений и его составных частей. Статистическое обобщение информации и представление её в виде сводных таблиц даёт возможность характеризовать размеры, структуру и динамику изучаемых явлений. Графическое изображение рядов распределения наряду со статистическими таблицами, являются важным средством выражения и анализа статистических данных, поскольку наглядное представление облегчает восприятие информации. Графики позволяют мгновенно охватить и осмыслить совокупность показателей - выявить наиболее типичные соотношения и связи этих показателей, определить тенденции развития, охарактеризовать структуру, степень выполнения плана, оценить географическое размещение объектов. Этим объясняется широкое применение графиков и таблиц для пропаганды статистической информации, характеризующей результаты развития различных сфер национальной экономики и социальных отношений.

(1)                        Frequency Tabulation                             

--------------------------------------------------------------------------------

         Lower    Upper                         Relative   Cumulative  Cum. Rel.

Class    Limit    Limit   Midpoint   Frequency  Frequency  Frequency   Frequency

--------------------------------------------------------------------------------

   at or below       .00                  0        .00000         0        .0000

   1       .00     26.09     13.04        0        .00000         0        .0000

   2     26.09     52.17     39.13        0        .00000         0        .0000

   3     52.17     78.26     65.22        0        .00000         0        .0000

   4     78.26    104.35     91.30        0        .00000         0        .0000

   5    104.35    130.43    117.39        3        .01515         3        .0152

   6    130.43    156.52    143.48        3        .01515         6        .0303

   7    156.52    182.61    169.57        7        .03535        13        .0657

   8    182.61    208.70    195.65        6        .03030        19        .0960

   9    208.70    234.78    221.74       23        .11616        42        .2121

  10    234.78    260.87    247.83       19        .09596        61        .3081

  11    260.87    286.96    273.91       21        .10606        82        .4141

  12    286.96    313.04    300.00       16        .08081        98        .4949

  13    313.04    339.13    326.09       21        .10606       119        .6010

--------------------------------------------------------------------------------

Mean = 315.773    Standard Deviation = 89.9254    Median = 314.65              

(2)                           Frequency Tabulation                             

--------------------------------------------------------------------------------

         Lower    Upper                         Relative   Cumulative  Cum. Rel.

Class    Limit    Limit   Midpoint   Frequency  Frequency  Frequency   Frequency

--------------------------------------------------------------------------------

  14    339.13    365.22    352.17       18        .09091       137        .6919

  15    365.22    391.30    378.26       17        .08586       154        .7778

  16    391.30    417.39    404.35       17        .08586       171        .8636

  17    417.39    443.48    430.43       11        .05556       182        .9192

  18    443.48    469.57    456.52        7        .03535       189        .9545

  19    469.57    495.65    482.61        4        .02020       193        .9747

  20    495.65    521.74    508.70        3        .01515       196        .9899

  21    521.74    547.83    534.78        1        .00505       197        .9949

  22    547.83    573.91    560.87        1        .00505       198       1.0000

  23    573.91    600.00    586.96        0        .00000       198       1.0000

above   600.00                            0        .00000       198       1.0000

--------------------------------------------------------------------------------

Mean = 315.773    Standard Deviation = 89.9254    Median = 314.65              

   В данной таблице для каждого интервала определен верхний и нижний предел, медиана данного интервала, абсолютная частота, относительная и накопленная (кумулятивная) частота. Из данной таблицы видно, что наибольшее количество единиц генеральной совокупности сосредоточено в девятом интервале (23 единиц).                                                                                 

            В качестве графического  изображения вариационного ряда могут быть использованы  традиционные графики: гистограмма, полигон, кумулята. В нашем примере графики строятся в абсолютных частотах.   Для графического изображения интервальных вариационных рядов применяется гистограмма. Она стоится так: на оси абсцисс откладываются равные отрезки, которые в принятом масштабе соответствуют величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строят прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам интервала. Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых. Две крайние точки прямоугольников замыкаются по оси абсцисс на середины интервалов, в которых частоты равны нулю.

       По построенной гистограмме распределения можно определить значение моды. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

           В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята). Для её построения надо рассчитать накопленные частоты и частости. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое значение, и определяются последовательным суммированием частот интервалов. При построении кумуляты интервального ряда распределения нижней границе первого интервала соответствует частота, равная нулю, а верхней границе – вся частота данного интервала.

        Медиану распределения можно определить по кумуляте. Для её определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную осе абсцисс, до пересечения её с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.

          Для графического изображения дискретного ряда применяют полигон распределения. Для его построения на оси абсцисс отмечают точки, соответствующие величине вариантов значений признака, из них восстанавливаются перпендикуляры, длина которых соответствует частоте (частости) этих вариантов по принятому масштабу на оси ординат. Вершины перпендикуляров в последовательном порядке соединяются отрезками прямых.

            Подставив в Sturge's формулу количество единиц данной совокупности  получим количество интервалов для нашей совокупности: K= 1 + 3.322 Lg 198 = 8.8, округляем до целого числа получим 9 интервалов. Построим гистограмму, полигон и кумуляту с этим количеством интервалов.

           Эмпирические данные в определённой степени связаны со случайными ошибками наблюдения, величина которых неизвестна. Влияние этих случайностей затемняет основную закономерность изменения величины признака. С увеличением числа наблюдений и одновременным уменьшением величины интервала зигзаги полигона распределения начинают сглаживаться, и в пределе мы приходим к плавной кривой, которая называется кривой распределения. Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, т.е. то распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность. Укажем особенности кривой нормального распределения:

       кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению , и её величина равна ;

       кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности;

       кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от;

       при =const с увеличением кривая становится более пологой. При = const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по осе абсцисс;

       в промежутке находится 68,3% всех значений признака, в промежутке находится 95,4% всех значений признака, а в промежутке находится 99,7% значений признака.

     Исследование закономерности ( или формы ) распределения включает решение трёх основных задач:

-          выяснение общего характера распределения;

-          выравневание эмпирического распределения, которое состоит в том, что на основании эмпирического распределения строится кривая y = f (x) c заданной формой;

-          проверка соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.

      В ППП STATGRAPHICS предлагается сгладить эмпирическое распределение несколькими  теоретическими законами:

1.       Сглаживание эмпирического распределения нормальным законом распределения

        2. Сглаживание эмпирического распределения треугольным законом распределения

           Сгладив эмпирическое распределение некоторыми теоретическими законами распределения, необходимо оценить правомерность такого сглаживания, то есть провести проверку статистической гипотезы о законе распределения. Проведем проверку статистической гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона — "Chi-square test":

                                           χ 2 =

                   Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные значения χ 2 от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением χ т2 при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Уровень значимости выбираем таким образом, что Р (χ 2 >  χ т2) = ά ( величина ά принимается равной 0.05). С помощью ППП STATGRAPHICS оценим правомерность нормального (1) и треугольного (2) сглаживания, используя критерий Пирсона.

(1)                       Chisquare Test                                                                 

-----------------------------------------------------------------------        

              Lower       Upper      Observed    Expected                      

              Limit       Limit      Frequency   Frequency    Chisquare        

-----------------------------------------------------------------------        

        at or below     156.522           6         7.6          .32960        

            156.522     182.609           7         6.1          .11873        

            182.609     208.696           6         9.4         1.23895        

            208.696     234.783          23        13.3         7.13811        

            234.783     260.870          19        17.2          .18874        

            260.870     286.957          21        20.5          .01193        

            286.957     313.043          16        22.5         1.87203        

            313.043     339.130          21        22.7          .12545        

            339.130     365.217          18        21.1          .44204        

            365.217     391.304          17        18.0          .05203        

            391.304     417.391          17        14.1          .59392        

            417.391     443.478          11        10.2          .06500        

            443.478     469.565           7         6.8          .00807        

above      469.565                       9         8.6          .01541        

-----------------------------------------------------------------------        

Chisquare = 12.2 with 11 d.f.  Sig. level = 0.348798