Для проверки используем правило трёх сигм:

1. [ ] 68% всех значений статистической совокупности.

     22*0,68 = 15, значит 15 значений должны попадать  в интервал [ ]

     23,07 – 5,86 = 17,21

     23,07 + 5,86 = 28,93

     Получаем  интервал [17,21 ; 28,93]. В данный интервал попадает 15 значений данной совокупности.

2. В интервал  ] должно попадать 95% всех значений совокупности.

     22*0,95 = 20,9 21

     23,07 – 2*5,86 = 11,35

     23,07 + 2*5,86 = 34,79

     В интервал [11,35 ; 34,79] попадает 20 значений данной совокупности.

3. В интервал  ] должно попадать 99% всех значений совокупности.

     22*0,99 = 21,78 22

     23,07 – 3*5,86 = 5,49

     23,07 + 3*5,86 = 40,65

     В интервал [5,49 ; 40,65] попадает 22 значения данной совокупности.

     Вывод: мы имеем информацию близкую к нормальному закону распределения.

Раздел  №3: «парный регрессионно-корреляционный анализ»

3.1. Построение и анализ  поля корреляции

     Для построения поля корреляции и проведения анализа используем данные, представленные в задании.

       

     В нашем случае имеем положительное  поле корреляции, то есть зависимость  между Х и У будет прямой.

     

     В случае отрицательной зависимости  она будет обратная.

 

     

     3.2. Построение (расчёт) уравнения регрессии

     Для этого построим специальную таблицу  подстановки. Для описания зависимости  между Х и У запишем уравнение  парной регрессии:

     

_х = а₀+а₁х

 
       

     а_{0 ,} а₁ – параметры уравнения.

     Данные  параметры определяют с помощью  метода наименьших квадратов из системы  нормальных уравнений.

     n*a₀ + a₁*Σx = Σy

    a₀*Σx + a₁*Σx² = Σx*y

     22*a₀ + 507,6*а₁ = 1341,53                     :22

    507,6*a₀+ 12466,5*a₁ = 32095,27            :507,6

 

     a₀ + 23,07*a₁ = 60,97

    a₀ + 24,55*a₁ = 63,22

    1,48*a₁ = 2,25

    a₁= 2,25/1,48=1,52

    a₀ = 63,22-24,55*1,52

    a₀ = 25,9

     Определив параметры, запишем уравнение регрессии:

     

_х=2 5,9+1,52Х

     В уравнение регрессии последовательно  подставляем значения Х и результаты записываем в 5-ый столбик.

     Вывод: Так как суммарные показатели во 2-ом и 5-ом столбике совпадают, уравнение регрессии рассчитано правильно.

     3.3. Интерпретация параметров уравнения регрессии

     а₀ =25,9 – это начало линии регрессии. Этот параметр может быть положительным и отрицательным.

     а₁= 1,52 означает, что если доля граждан с доходами ниже прожиточного минимума, увеличится на 1, то значение результата валового регионального продукта увеличится на 1,52 тыс. руб. на человека.

 

     Дадим интерпретацию в процентах

     Для этого используем показатель эластичности.

     Э = а₁* (%) = 1,52* = 0,57%

     Это означает, что если доля граждан  с доходами ниже прожиточного минимума увеличится на 1%, то валовой региональный продукт увеличится на 0,57% от среднего уровня.

     Нанесём линию регрессии на поле корреляции.

     Хmin = _х = 37,45

     Xmax = _х = 73,8

3.4. Корреляционный анализ

     Для оценки силы влияния фактора на результат  используем парный коэффициент корреляции.

     

;       

Парный  коэффициент можно рассчитать и  по другой формуле:

     Дадим интерпритацию этого показателя.

     Коэффициент корреляции может быть положительным  или отрицательным. Его знак всегда совпадает со знаком поля корреляции. По абсолютной величине его значение меняется от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем  сильнее зависимость между фактором и результатом.

    В нашем случае r_ху равен 0,82, а это значит, что фактор оказывает сильное положительное влияние на результат.

     Дадим интерпритацию в процентах.

     Для этого используем коэффициент детерминации.

     Д = r²_xy = (0,82)²=0,672 = 67%

     Это означает, что 67% колебаний результата У объясняется действием нашего фактора, а остальные 33% объясняются  действием неучтённых нами факторов.

3.5. Оценка адекватности  параметров регрессионно-корреляционного  анализа

    Для проверки адекватности необходимо установить достоверность проверенных расчетов. Для этого используем специальный  статистические критерии и статистические таблицы.

     3.5.1.Проверка  адекватности уравнения в целом:

    Имеем уравнение  .

    Для проверки используем следующие показатели:

      – остаточная дисперсия,  которая находится по формуле:

     , где

• - отклонение от линии регрессии;
• n-2 – число степеней свободы;
• 2 –число параметров.

       Для проверки адекватности используем  F_ф – критерий Фишера: .

    

     .

    Сравним полученное значение F_ф с табличным значением. Доверительная вероятность P = 0,95, уровень значимости α = 0,05%.

    V₂ = n – 2, V₁ = n = 22 , V₂ = 22 – 2 = 20.

    В нашем случае   F_т =2.12

    Рассчитав фактическое значение по формуле  и определив табличное значение, сравниваем эти показатели и делаем вывод.

    Вывод: Fф  > Fт – уравнение в целом адекватно, то есть достоверно и его можно использовать для дальнейшего анализа.

 

     3.5.2. Проверка адекватности параметров уравнения регрессии

    Для параметра а₀:

    ошибка а₀ = mа₀ =

    Для проверки используем статистический t-критерий Стьюдента.

     = .

 

    Для параметра а₁

    ошибка а₁ = mа₁ = .

    Также применим критерий Стьюдента

     .

    Сравним полученные значения t с табличным. В таблице α = 0,05 число степеней свободы равно 22-2=20. t_таб = 2,09.

     ta₀ ,ta₁ > чем t_т, значит параметры уравнения можно считать адекватными, уравнение с данными параметрами можно использовать для дальнейшего анализа.

 

     3.5.3. Проверка адекватности коэффициента корреляции.

    Используем  t-критерий Стьюдента.

    

     .

    t_ф  >  t_т - значение коэффициента корреляции достоверно.

    Найдем  доверительные интервалы для  параметров уравнения.