Гидрологиядағы статистикалық есептеулер

     14Квантилдер әдісі (Алекссевтің графоаналитикалық әдісі) 

           Квантилдер әдісі  үлестірім қисығының параметрлерін  тегістелген эмпирикалық қамтамасыздық  қисығы арқылы анықталады. Үлестірім  қисығының таңдама параметрлері берілген ықтималдық артықшылық деңгейіне сай болатын таңдама квантилдеріне сәйкес түрінде табылады. Г.А. Алексеевтің квантилдер әдісі бойынша ағынды үлестірімінің сипаттамаларын Пирсон қамтамсыздығының III типін қолдану арқылы есептеу тәртібі келесідей:

1. ықтималдық торкөзіне Х қатарының эмпирикалық қамтамасыздық қисығы тұрғызылады. Эмпирикалық нүктелер жиынтығы бойынша бас орташалайтын сызық жүргізіледі.

     2. формуласы бойынша төмендету коэффициентін (коэффициент скошенности) есептейміз;

     Мұндағы - эмпирикалық қамтамасыздық қисығының 5, 50, 95% қамтамасыздығындағы квантильдері, осы қамтамсыздықтарда төмендету коэффициенті есептеледі.

     3. Биномальдық үлестірім заңына  арналған көмекші кесте бойынша  C_s=f(S) (3- қосымшаны қараңыз) асимметрия коэффициенті анықталады (S және C_s арасындағы функционалды байланыс 3.1 суретте келтірілген ).

     4. формуласы бойынша орташа квадраттық ауытқу анықталады.

     Мұндағы t₅ және t₉₅ – орташа  мәннен қалыптандырылған ауытқулар, С_s және 5, 95 % ықтималдықтар мәліметтері бойынша анықталады (3-қосымшаны қараңыз).

     5. формуласы бойынша математикалық күтім бағаланады.

     Әдісті  пайдалану жолы өте жеңіл, есептеу  нәтижесінің дәлдігі басқа әдістерден кем емес екендігі белгілі. 

     

 

       Сурет 1.  Пирсонның III типті үлестірім заңына арналған С_s=f(S) байланысы. 
 

Сонымен қатар  бұл әдістің өзіне тән кемшіліктері де бар:

1) әдіс субъективті,  көп жағдайда тегістелген қамтамасыздық  қисығының жүргізуілуіне тәуелді.  Бақылау қатары қысқа болып,  нүктелер біршама шашыранды орналасқан  жағдайда ықтималдықтар торкөзінде  тегістелу қисығы әртүрлі жүргізілуі  мүмкін;

2) есептеу нәтижесіне  графиктің шеткі бөліктерінде  орналасқан жекелеген нүктелер  көп әсерін тигізеді.

   15Гидрологиядағы статистикалық байланыстар 

   15Сызықтық регрессия және корреляция  

   Табиғат құбылыстарын зерттеу кезінде түрлі  құбылыстар мен процестердің арасында болатын екі түрлі: функционалдық  және стохастикалық байланысты кездестіреміз.

   Тәуелділік  функционалды болғанда аргументтің  мүмкін болатын әрбір мәніне функцияның тек негізгі бір мәні сәйкес келеді. Гидрологиялық процестер көп  факторлы болғандықтан, гидрологтар  іс-жүзінде функционалдық байланыстармен емес, тәуелсіз болып қабылданатын шаманың әрбір мәніне басқа шаманың (функцияның) есепсіз көп мәні сәйкес келетін стохастикалық байланыстармен істес болады.

   Гидрологиялық есептеулерде, әдетте бір шаманың (аргументтің) белгілі бір белгіленген мәндерімен, осыларға сәйкес келетін басқа шаманың (функция) орташа мәндерінің арасындағы байланыс болып саналатын корреляциялық  байланыс қолданылады.

   Сонымен біз іс жүзінде қандайда бір Бас  жиынтықтан алынған кездейсоқ таңдамалармен  жұмыс істейміз. Сол себепті, әдетте, стохастикалық емес статистикалық  байланыстар қарастырылады. Әрине  таңдама көлемі жеткілікті үлкен  болса, онда белгілі бір шарттар  орындалғанда статистикалық тәуелділік стохастикалық тәуелділікті сипаттай алады. Статистикалық тәуелділіктер  гидрологияның көптеген салаларында, мысалы, ағындыны есептеу және болжау кезінде кеңінен қолданылады. 

   16Регрессия және корреляция туралы түсінік 

   Регрессия – стохастикалық тәуелділіктің  түрі, тәуелділікті сипаттайтын сызық. Регрессия кездейсоқ айнымалылардың арасындағы сәйкестікті белгілейді.

   Корреляция  осы сөздің толық мағынасында  табиғатта кездесетін құбылыстар мен  процестердің арасындағы қатынас, байланыс болып табылады. Құбылыстар мен процестердің арасындағы байланыс күші бойынша әртүрлі  болады. Байланыстың үдемелілік дәрежесі, тығыздығы, түзу сызықтылығы, айқындылығы, қатаңдығы өзгерген жағдайда корреляция мәселесі бір жақты қарастырылады. Регрессия және корреляция туралы түсінік бір-бірімен тығыз байланысты.

   Сонымен корреляциялық теория кездейсоқ  шамалардың арасындағы тәуелділіктің  түрін, тығыздығын қарастырады. Ал бұларды  талдау әдістерін корреляциялық  талдама деп атайды. 

   17Қарапайым сызықтық регрессия және корреляция 

   Гидрологиялық есептеулерде екі айнымалының арасындағы сызықтық регрессиялық байланыс кеңінен  қолданылады. Олар жауын-шашынның немесе қар суының мәліметтері бойынша  ағындыны болжауға, ағынды сипаттамаларының қатарын көпжылдық кезеңге келтіруге  және т.б. жағдайларда қолданылады.

   Айталық, ағынды ( ) және жауын-шашынға ( ) жүргізілген қос бақылау таңдамасы бар делік. Осы екі айнымалының арасындағы байланысты анықтау, осы жиынтықтарды салыстыру арқылы жүзеге асырылады. Бұл кезед жазықтығында нүктелерін графиктік түрде кескіндеу алғашқы қадам болып саналады. Мұндай график корреляциялық өріс немесе шашырау диаграммасы деп аталады. Осы графикті талдау арқылы біз және араларында сызықтық тәуелділіктің бар екендігі жөніндегі ұйғарымның дұрыстығын эмпирикалық жолмен шеше аламыз. Таңдамалар арасындағы байланыстың тығыздығын сипаттайтын корреляция коэффициентін есептеу екінші қадам болып табылады.

   Егер  және араларында сызықтың тәуелділік бар деп жорамалданса, онда оның теориялық үлгісі төмендегі қарапайым теңдеумен беріледі. 

    ,                           (1) 

   Бұл теңдеу -тің бойынша сызықтық регрессия теңдеуі деп аталады.

   Теңдеудің және шамалары белгісіз параметрлер, ал (1) регрессия теңдеуі бойынша есептелген -тің орташа шамасынан айнымалы -тің ауытқуын сипаттайтын кездейсоқ айнымалы, яғни . шамасын (1) теңдеудің қалдық мүшесі деп атайды.

     ауытқуына қатысты келесі  ұйғарымдар жасалады:

   1) қалыпты үлестірілген, тәуелсіз кездейсоқ айнымалы;

   2) -ның математикалық күтімі нөлге тең;

   3) ауытқудың дисперсиясы тұрақты.

   Белгісіз  және параметрлерін анықтау үшін, әдетте, бақылау нәтижесінде алынған мәліметтердің регрессия теңдеулері бойынша есептелген шамалардан ауытқуының квадраттарының қосындысы ең төмен (минималды) болатындай және мәндерін анықтауға саятын ең кіші квадраттар әдісі қолданылады.  

                  (2) 

   Белгісіз  және параметрлері бойынша дербес туындылар теңдігінің нөлге тең болуы, функция минимумының қажетті шарты болып табылады. Бұл үшін және параметрлерінің дербес туындыларын тауып, оларды нөлге теңестіреміз. Нәтижесінде: 

                             (3) 

   өрнектерін  аламыз.

   Енді (3) теңдеуін түрлендіріп қарапайым  теңдеулердің қалыпты (стандарт) формасын аламыз: 

                                 (4) 

   Екі теңдеудің де екі жағын  - ге бөліп, нәтижесінде екінші теңдеуден бос мүше деп аталатын параметрді аламыз.  

                                               (5) 

   мұндағы  .   

   Соңғы (5.5) формуланы (5.4) жүйенің бірінші  теңдеуіндегі бос мүшенің орнына қоямыз, сонда 

                                           (6) 

   мұндағы параметрі регрессия коэффициенті деп аталады. Ол түзудің ОХ өсіне көлбеуін сипаттайды. Егер регрресия түзуінің абсцисса өсімен түзетін бұрышын деп белгілесек, онда (1-сурет). 

   

   1-сурет. Регрессия түзуі және оның параметрлері. 
 

   Регрессия коэффициентін, сонымен қатар, келесі формулалар арқылы да есептеуге болады.  

                                         (7)

   немесе 

                                  (8) 

   Төменде берілген теңдеу 

                                               (9) 

   теориялық регрессия теңдеуінің (1) бағасы болып табылады.

   (5) теңдеуге сәйкес  параметрі, айнымалы бір бірлікке өзгергенде айнымалы  у-тің өзгерісінің орташа шамасын көрсетеді. Бұл өзгерістің бағытын а параметрінің таңбасы анықтайды.

   Регрессия коэффициенті оң болған жағдайда сызықты  регрессия оң болады да х-тің мәні артқан сайын у-тің мәні де артады. Регрессия коэффициентінің мәні теріс болған жағдайда тәуелсіз х айнымалысының мәні артқан сайын тәуелді айнымалының өзгеруі кему сипатына ие болады. Бұл теріс регрессияны білдіреді. Параметрлердің сандық бағасы алынғаннан кейін регрессия теңдеуі бойынша айнымалы х_i-тің әрбір мәні үшін (i=1,2,…n) -тің мәнін есептеуге болады. Сонымен (i=1,2,…n) шамаларын белгіленген х_i-тің айнымалылары үшін айнымалы у-тің болжанған немесе есептелген мәндері деп аталады.

   Жоғарыда  келтірілген (5)-ші теңдеуді (1)-ші теңдеумен алмастырып, біраз түрлендірулер жасағаннан кейін регрессия теңдеуін қалдық мүшені есепке аламай басқаша түрде жазуға болады 

    .                                     (10) 

   Қарапайым сызықтық регрессия мысалын қарастырайық. Түрген өзені мен Кіші Алматы өзендерінің  орташа жылдық су өтімдерінің арасындағы байланыс 1932-1953 жылдар аралығы үшін зерттелетін болсын (1-кесте).

   Шашырап таралу диаграммасында нүктелердің  орналасуы айнымалылардың арасында сызықтық байланыс бар деген ұйғарым  жасауға мүмкіндік береді (2-сурет). Сондықтанда (10) функция түріндегі тәуелділікті іздеу қажет. Бұл үшін статистикалық мәліметтер бойынша және параметрлерінің бағасын табу керек.

   Алдымен, барлық бастапқы мәліметтерден және параметрлерді есептеуге қажетті  аралық нәтижелерден тұратын кестені  толтырамыз. 
 

   

   Сурет –2.  Түрген өзенінің Таутүрген ауылы бекетіндегі және Кіші Алматы өзенінің Алматы қаласындағы бекетіндегі  орташа жылдық су өтімдерінің арасындағы тәуелділік.