Гидрологиядағы статистикалық есептеулер

    Практикалық есептеулерде Е_х шамасы әдетте қолданылмайды, себебі бұл параметрді сенімді анықтау үшін өте ұзақ қатар қажет.  

     Гидрологияда  қолданылатын ықтималдық үлестірімінің негізгі  типтері 

     Қандай  да бір қамтамасыздыққа ие су өтімі  туралы ұғымды кездейсоқ шаманың  үлестірім заңының көмегі арқылы ала аламыз. Гидрологияда үлестірімнің теориялық заңдарының онға жуық түрі қолданыс табады. Есептеу кезінде, көбінесе, қалыпты үлестірім заңы, Пирсон, үшпараметрлі гамма-үлестірім заңдары, логарифмдік қалыпты үлестірім  заңы қолданылады.

     Үлестірім қисықтары әртүрлі тәсілдер арқылы тұрғызылады.

     Қалыпты үлестірім мен Пирсон қисығы теңдеулерін  әртүрлі жіберілімдер көмегімен  Ньютонның бином коэффициенттерінің өзгеріс заңы арқылы немесе көп реттік сынақтар кезінде күрделі оқиғалардың  ықтималдық үлестірімінің биномдық заңы арқылы көрініс беретін интерполяциялық  қисықтар ретінде, болмаса К.Пирсон ықтималдық тығыздығының дифференциалдық  теңдеуін шешу негізінде алуға болады. Үшпараметрлі гамма-үлестірімі мен  логарифмдік қалыпты үлестірім  теңдеулерін үлестірім қисығының  бастапқы теңдеуін жаңа үлестірім заңына айналдыру (трансформациялау) арқылы алуға  болады. 
 

     5Қалыпты үлестірім заңы 

     Көбінесе, Гаусс үлестірімі деп аталатын қалыпты  үлестірім заңы кездейсоқ шамалар  заңдылықтарын зерттеуге байланысты көптеген мәселелерді шешуде кеңінен  қолданылады.

     Көп заңдардың ішінен қалыпты үлестірім  заңын ажырататын басты ерекшелік, оның шектілігінде, яғни осы заңға  белгілі бір жағдайларда көптеген басқа үлестірім заңдарын жуықтатудың  қажеттілігінде. Қалыпты үлестірім  заңы барынша егжей-тегжейлі жасақталған  және қолдануға ыңғайлы.

     Қалыпты үлестірім заңы айнымалы шама көптеген тәуелсіз (немесе әлсіз тәуелді) факторлардың жиынтығының әсерінен қалыптасқан  жағдайда және бұл факторлардың әрқайсысы  зерттеліп отырған құбылысқа  басым ықпал жасамайтын жағдайда туындайды.

     Қалыпты үлестірім заңы өлшеулер қателігін  талдау негізінде алынған. Сондықтан  да ол ғылым мен техниканың көптеген салаларында, соның ішінде гидрологияда да кең қолданысқа ие. Гидрологияда қалыпты үлестірім заңы есептеулер мен болжамдардың дәлдігін бағалауда, сенімділік интервалдарын анықтауда  және т.б. кеңінен қолданылады. Сондай-ақ ең кіші квадраттар және корреляция теориясының  қағидалары осы қалыпты үлестірім  заңына негізделген.

     Қалыпты үлестірім қисығының дифференциалды түрдегі немесе ықтималдық тығыздықтарының  үлестірім қисығы формасындағы теңдеуі  төмендегідей өрнектеледі: 

      ,                                           (1) 

     мұндағы   х айнымалысының математикалық күтімі (орташа мәні); - орташа квадраттық ауытқу.

       және  шамалары қалыпты үлестірім қисығының параметрлері болып табылады. Қалыпты үлестірім қисығының шегі минус шексіздіктен плюс шексіздікке дейінгі аралықты қамтиды .

     Қалыпты үлестірім заңының қисығы нүктесіндегі тең максималды ординатаға симметриялы орналасады. Демек, қалыпты үлестірім заңында орташа арифметикалық мән, М_о мода және М_е медиана бір-біріне сәйкес келеді.

     Қалыпты үлестірім заңының осы үш параметрінің тақ мүшелері нөлге тең болғандықтан, ол симметриялы болып келеді. Сәйкесінше, асимметрия коэффициенті де нөлге тең  болады.

     Қалыпты үлестірім функциясы жұп болады. Яғни, (+х)  минус (-х) айналдырғанда  функция өзгермейді у(-х)=у(+х). Матеметикалық күтімнің шамасы өзгергенде үлестірім қисығының пішіні өзгермей абсцисса осі бойынша ығысады. Параметр s үлестірім қисығының пішінін көрсетеді. s-ның мәні өскен сайын үлестірім қисығы абсцисса осі бойынша созылып, жазықтана түседі, ал s мәні азайған сайын, керісінше үлестірім қисығы екі жағынан жиылып симметрия осімен сығылады.

     Интегралды  өрнек түріндегі немесе қамтамасыздық  қисығы түріндегі қалыпты үлестірім  заңы қисығы төмендегідей өрнектеледі: 

                                          (2) 

     Егер  де х қатары мәндерінің орнына қалыптандырылған кездейсоқ шама мәндерін алатын болсақ, онда , ескере отырып мына өрнекке қол жеткіземіз: 

                 (2.3)                   

     Бұл интегралды толықтай (тікелей) есептеп  шығу мүмкін емес. Оны есептеу үшін арнайы ықтималдық интеграл функциясының кестелерін немесе Лаплас функциясын қолданады: 

                                                             (3) 

     Ықтималдық  интеграл кестесі І қосымшада  келтірілген.

     Қалыпты үлестірімнің интегралдық функциясын Лаплас функциясы арқылы келесі түрде  өрнектеуге болады: 

                                                                    (4) 

     ал  қамтамасыздық функциясын: 

                                                (5) 

     2 қосымшада қалыптандырылған қалыпты  үлестірімнің интегралды функциясының  мәндері (2.3.) келтірілген. Бұл  кестенің мәндерін х_і бастапқы айнымалыларын қалыптандыруда қолдануға болады.

     Қалыпты қамтамасыздық қисығын 1 – кесте мәліметтері бойынша тұрғызған жөн. Қалыптандырылған мәндер х_р шамасына келесі формула арқылы өтеді: 

     

                                

     1 – кесте

     Қатардың  қалыптандырылған мәндерінің қамтамасыздық  қисығы ординаталары 

 
 

     Қалыпты үлестірім заңы бойынша таралған х кездейсоқ шамасының кез-келген және параметрлерімен α мен β аралығындағы мәндермен шектелген учаскеге түсу ықтималдығы мына теңдеу бойынша анықталады: 

                                        (2.7) 

     6 Пирсонның үшінші типті қамтамасыздық қисығы 

     Ағындының әртүрлі сипаттамаларын зертеу және есептеу тәжірибесінде биномдық үлестірім қисығы немесе Пирсонның  үшінші типті қисығы кең қолданыс тапты.

     Пирсонның үшінші типті қисығы биномдық заңға  тікелей тәуелді, атап айтқанда центрленген  кездейсоқ шамалардың ықтималдық тығыздығының дифференциалдық теңдеуінен шығады: 

                                                  (1) 

       коэффициенттерінің сандық  мәндеріне байланысты әртүрлі  типтегі Пирсонның жеті қамтамасыздық  қисығын алуға болады. Гидрологияда  олардың екеуі қолданылады: қалыпты  (екінші тип) және биномдық  асимметриялық (үшінші тип) үлестірім  заңдары. 

       коэффициентімен шектеле  отырып, яғни (2.8) өрнегінен  деп алып, қалыпты үлестірім заңын шығаруға болады, ал алғашқы екі коэффициенттіерін - және ескеріп, Пирсонның үшінші типті қисығы теңдеуіне заңына қол жеткізуге болады

                         (1а) 

     немесе  әдетте қолданылатын интегралдық өрнек  арқылы қамтамасыздық қисығы түрінде  осылайша өрнектеледі: 

     

 

     мұндағы у_о – үлестірімнің максималды ординатасы;

                 d – орталық ординатадан модаға дейінгі арақашықтық;

                     а – модадан қисықтың басталғанына дейінгі арақашықтық.

     Биномдық  асимметриялық үлестірім қисығының  немесе Пирсонның үшінші типті қисығының  жалпы көрінісі                1 - суретінде кескінделген. 
 
 
 

       

     1- сурет. Асимметриялық үлестірім қисығы.

     1 – үлестірім орталығы, 2 – медиана, 3 – мода, 4 – х_мин. 

     С_v және С_s арқылы а және d мәндерін бере отырып,  

          

;     

     

. 

     келесі  өрнекке қол жеткіземіз: 

                      (1б)        

       және  параметрлері арқылы (2.9б) теңдеуін былайша өрнектеуге болады: 

                                                     (1в)       

     Пирсон  қисығы теңдеуін, әдетте, гамма функция  арқылы өрнектейді. Мұндай жағдайда санақ  басын модадан х_мин (у=0) нүктесіне, яғни үлестірім қисығының басына ауыстырады. Сонда жаңа координаталар жүйесіндегі абцисса өсі бойындағы арақашықтық тең болады, мұндағы х үлестірім орталығынан бастап есептелген мән. (2.9в) өрнегіне арқылы х мәндерін қойып, яғни деп алып, сонымен қатар біршама өзгертулерден кейін (2-ші түрдегі интегралды немесе гамма фунцияны пайдалана отырып), келесі теңдеуді аламыз:

                                                              (2)        

     мұндағы - гамма фунция .

     Гамма-функциясы  арқылы өрнектелетін Пирсонның үшінші типті қисығын үш параметрлі гамма  үлестірім деп те атайды. Оны қолданған  кезде х шамасының модульдік корэффициент арқылы берілетіндігін ескерген жөн:

                            

     

.

     Шамалардың  жиыны  , осыдан және екенін ескере отырып, теңдеуін аламыз немесе

     

                       болғанда 

               

  болғанда                                                    (3)

                        болғанда   

     Сонымен, болғанда биномдық үлестірім қисығы нөлден басталады ( ); ал, болғанда қандай да бір оң саннан басталады, ақыр соңында болғанда теріс сандар аймағына өтеді. 

     Гидрологиялық есептеулерде, әдетте, интегралдық  үлестірім қисықтары немесе гидрологиялық  термин бойынша қамтамасыздық қисығы қолданылады. Қамтамасыздық қисығы қарастырылып отырған белгінің берілген мәнінің артық болу ықтималдығын көрсетеді және дифференциалды үлестірім  қисығының интегралы болып табылады (2.10).