Гидрологиядағы статистикалық есептеулер

   

 

   Сондай-ақ (2.46) өрнегі бойынша суы аз және суы  мол жылдар топтамасының ең үлкен  ұзақтығын анықтауға болады, егер оны төмендегідей жазатын болсақ: 

    ,                  (5) 

   мұндағы K – таңдама көлемі n жылды құрайтын кездесу ықтималдығы p болған жағдайдағы суы аз және суы мол жылдар топтамасының ең үлкен ұзақтығы.

     11Үлестірім қисықтарының параметрлерін бағалау 

     11Параметрлерді бағалауға қойылатын талаптар  

     Гидрологиялық есептеулерде кездейсоқ шамалардың теориялық үлестірім қисығы аналитикалық түрде беріледі. Өз кезегінде үлестірім  заңын аналитикалық түрде ұсыну  үшін осы заңның кейбір жақтарын бейнелейтін  қандай да бір параметрлерді немесе сипаттамаларды бағалау қажет. Мұндай параметрлерге математикалық күтім (қатардың орташа мәні), орташа квадраттың ауытқуы (вариация коэффициенті) және асимметрия коэффициенті жатады.

     Ықтималдықтың үлестірім заңын (қисықтың түрін) таңдау кезінде жалпы таным негізінде  осы нақты жиынтықтың шарттарына қатысты параметрлерді бағалау  міндеті туындайды. Бұл мәселені гидрологиялық режимнің қарастырылып отырған элементіне жүргізілген  нақты бақылау деректерінің бойындағы  ақпаратты пайдалану арқылы ғана шешуге болады. Параметрдің мәні тек  бақылаудың ұзақтығына емес, сондай-ақ осы бақылау жүргізілген уақыт  мерзіміне де тәуелді. Яғни, қатардың ұзақтығы бірдей болған жағдайдың өзінде параметрдің мәні әртүрлі болуы  мүмкін. Демек, ізделініп отырған  саны шектеулі тәжірибелердің негізінде  есептелінген параметрдің кезкелген  мәні, әрқашанда кездейсоқтық элементіне ие болады. Мұндай жуық кездейсоқ мәнді  параметрді бағалау деп атайды.

     Мысалы, бақыланған шамалардың арифметикалық  орташа мәні математикалық күтімнің бағасы болып табылады. Тәжірибелер  саны үлкен болған жағдайда, арифметикалық  ортаның математикалық күтімге  жуық болу ықтималдығы өте жоғары болады. Егер тәжірибелер саны аз болса, онда математикалық күтімді арифметикалық  орташамен алмастыру қандайда бір  қателіктерге алып келеді.

     Сонымен, ықтималдық үлестірімінің параметрлерін  бағалау үшін, гидрологиялық режимнің сипаттамаларына жүргізілген бақылаудың нәтижелерінде алынған, қолда бар  салыстырмалы қысқа қатарларды қайтсек  мейлінше толығымен пайдаланамыз деген  сұрақтар туындайды.

     Бұл мәселені шешу таңдамалы әдісі теориясының  негізгі ережелеріне сүйенеді. Параметрлердің нақты мәніне анағұрлым жақын  болатын, яғни Бас жиынтыққа сәйкес келетін мәнді санауымыз қажет. Параметрлердің әрбір бағасы таңдаманың функциясы болып табылатындықтан, бағалаудың сапасы жөнінде жекелеген  мәндер бойынша емес, оның таңдалынып алынған үлестірімі бойынша төрелік  айту қажет.

     Қандай  да бір статистикалық баға практикалық  маңызға ие болу үшін ол бірқатар талаптарды қанағаттандыруы қажет.

       Бағаға қойылатын бірінші шарт  – ығыспау шарты, яғни қатарда  бақылау жылдарының саны әркелкі  болғанына қарамастан жүйелік  қателіктердің болмауы тиіс. Ығыспаған  баға деп, математикалық күтім  бағаланатын параметрге тең бағаны  айтамыз, яғни  .  

     Егер  болса, онда баға оң ығысқан деп, ал болса, онда теріс ығысқан деп аталады.

     Тыңғылықтылық шарты  параметрі бағасын қанағаттандыруы қажет -  екінші шарт болып табылады. Сынау саны шектеусіз ұлғайған жағдайда, бағасы ықтималдығы бойынша бағаланатын параметрге сәйкес болса, онда ол тыңғылықты баға деп аталады. Ол келесі өрнекпен өрнектеледі:  

      , мұндағы  - мейлінше аз оң сан.  

     Бұл талаптың орындалуы үшін ұлғайған жағдайда баға дисперсиясының нөлге ұмтылуы жеткілікті шарт, яғни , сондай-ақ бағаның ығыспаған болуы қажет.

     Әртүрлі тәсілдер арқылы алынған тыңғылықты ығыспаған бағалардың шашырауы да әртүрлі  болады, ал бұл жағдай параметрін бағалаудың дәлдігін нашарлатады. Сондықтан параметрлердің таңдалған бағаларын бағалауды олардың дисперсиясының көмегімен жүзеге асырған дұрыс.

     Бағалауға қойылатын үшінші талап  - тиімділік  шарты. Сонымен  параметрінің бірнеше ығыспаған бағалары бар делік, онда олардың қайсысының дисперсиясы аз болса, сонысы аса тиімді дейміз. Яғни, , қасиетімен сипатталатын баға тиімді деп аталады.

     Ықтималдық  теориясын гидрология саласында  практикалық қолдану барысында  кездейсоқ шаманы сипаттау үшін, әдетте келесі сипаттамалар қолданылады: математикалық  күтім  (орташа мән), дисперсия , орташа квадраттық ауытқу , вариация коэффициенті , асимметрия коэффициенті .

     Анағұрлым кең таралған сипаттамалар , , , , үлестірімнің алғашқы және центрлік моменттерінің негізінде немесе басқаша айтсақ, моменттер әдісінің негізінде айқындалады.

     Есептеулер  практикасында кейінгі жылдар Р.Фишер  жасаған шындыққа ең жақын әдісі  кеңінен қолданылуда.

   12Үлестірімнің параметрлерін моменттер әдісі бойынша бағалау

    

   Үлестірім параметрлері моменттер әдісі бойынша  бағалау үшін бас жиынтық бойынша  есептеуге арналған формулалар қолданылады: эмпирикалық математикалық күтім (орташа мән):  

    ,                                   (1)

   дисперсия

                                    (2) 

   Орташа  квадраттық немесе стандарттық ауытқу

                        (3) 

   Вариация  коэффициенті

                         (4) 

   Асимметрия  коэффициенті

    .        (5)  

   Арнаулы әдебиеттерде [43, 60] моменттер әдісі  бойынша анықталған математикалық  күтімнің бағасы тыңғылықты және ығыспаған  болып табылатындығы, ал бақылаулар саны аз болған жағдайда есептелінген дисперсияның бағасы Бас жиынтықтың дисперсиясының теріс ығысқан бағасы болатындығы көрсетілген 

    .                             (6)

   Ығысу шамасына түзетілген, демек енді ығыспаған  болып табылатын  шамасын (3.6) формулаға сәйкес келесі қатынас бойынша анықтауға болады: 

                              (7) 

   Бақылау қатары болғанда ығысуға енгізілетін түзетудің шамасы өте мардымсыз болғандықтан ескермеуге болады. Е.Г. Блохинов аргументтердің ( және ) ығыспағандығы функцияның ( ) ығыспағандығын айқындай алмайды деп көрсетті [6]. Жүйелік ығысуы жоқ вариация коэффициентін жағдайы үшін жуық формула бойынша анықтауға болады:  

    ,             (8) 

   мұндағы - қатардағы мүшелер саны;

    - вариация коэффициентінің ығыспаған  бағасы;

    - вариация коэффициентінің ығысқан  бағасының математикалық күтімі.

   Бақылаулар  саны болғанда (3.8) формуласы бойынша есептелетін таңдама бағасы -ның ығысуына енгізілетін түзету шамасы 2-5 % құрайды, сондықтан түзету енгізу есепке алынбайды.

   Таңдаманың  асимметрия коэффициенті бағасының  теріс ығысуын жою үшін Блохинов енгізген жоғарыда аталған түзетуге сәйкес түзету келесі өрнек бойынша  өрнектеледі: 

                                               (9) 

   Енді (5) формуланы (9) формуланың түзетуін есепке ала отырып келесі түрде жазуға болады: 

                (10) 

   Таңдаманың  үлестірім параметрі бағасының  теріс ығысуы шамасына тағдаманың көлемі, үлестірім параметрлерінің мәні, сондай-ақ таңдама анықталған үлестірімнің түрі әсерін тигізеді. Бұдан басқа  теріс ығысу шамасына қатардың іргелес  мүшелерінің арасындағы автокорреляция коэффициенті арқылы анықталатын тізбектің  құрылымы елеулі әсерін тигізеді. Сонымен  таңдаманың вариация және асимметрия коэффициенттерінің теріс ығысуы вариация және асимметрия коэффициенттері (немесе олардың қатынастары  ), қатардың іргелес мүшелерінің арасындағы автокорреляция коэффициенті артқан сайын және таңдама деректерінің көлемі азайған сайын артады. Вариация коэффициентінің ығысуы С.Н. Крицкий және М.Ф. Менкель үлестірімі үшін биномдық үлестірімге қарағанда кіші болады. Оның үстіне бұл айырмашылық  қатынасы артқан сайын артады. Автокорреляция коэффициентінің мәні кіші ( ) және вариация коэффициентінің мәні де үлкен емес ( ) болған жағдайда вариация коэффициенті бағасының теріс ығысуы мардымсыз болады да, оны инженерлік гидрологиялық есептеулерде есепке алмауға болады [45]. Вариация және асимметрия коэффициенттерінің мәні үлкен болған жағдайда, сондай-ақ болғанда, жоғарыда көрсетілген түзетулер және  -ның ығыспаған мәндерін есептеу үшін қажетті дәлдікке қол жеткізе алмайды. Сондықтан түзету шамалары статистикалық сынақ әдістері бойынша нақтыланған.

   Вариация  және асимметрия коэффициенттерінің ығыспаған  бағасы үш параметрлі гамма-үлестірім  және биномдық үлестірім үшін моменттер  әдісі бойынша келесі формулалар бойынша анықталады: 

             (11)

               (12) 

   мұндағы , , ,..., ; , , ,..., - 1-ші және 2-ші кестелер бойынша анықталатын коэффициенттер; және - тиісінше (3.4) және (3.5) формулалар бойынша анықталатын вариация және асимметрия коэффициенттері.  

  Кесте 1

   (11)-ші формуладағы " " коэффициенттері