Анализ динамических рядов и построение уравнения многофакторной корреляционной связи

Для измерения вариации признаков (их вариабельность) в пределах совокупности или ее частей используются следующие показатели:

Самым элементарным показателем вариации признака явля­ется размах вариации (R), определяемый как разность между наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin) значениями признака у единиц совокупности:

                                                    (2.1.)     

Однако размах вариации показывает лишь крайние от­клонения признака и не отражает отклонения всех вариан­тов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации не­обходимы показатели, которые отражают все колебания варьи­рующего признака и дают обобщённую характеристику.

В практических расчетах экономической статистики применяют следующие показатели вариации:

1. Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от его расчетной базы (модуля или устойчивой средней).

1) - для дискретного ряда                                                         (2.2.)

2)   - для вариационного ряда с неравными частотами  (2.3.)

Где: – значение признака i-ой группы; – среднее значение признака в исследуемой совокупности; – число единиц совокупности;   – число единиц i-ой группы (частоты).

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике ред­ко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

2. Дисперсия – показатель, нивелирующий незначительные колебания в значениях признака, тем самым, исключая анализ сторонних влияний на признак, поэтому часто используется для оценки вариации.

1)        - для дискретного ряда                                             (2.4.)

2)   - для вариационного ряда                                         (2.5.)

3. Среднее квадратическое отклонение регистрирует интервал колебания признака.

1)       - для дискретного ряда                                            (2.6.)

2)      - для вариационного ряда                                  (2.7.)

Среднее квадратическое отклонение - это обобщаю­щая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Среднее квадратическое отклонение имеет два знака. Это позволяет регламентировать (уточнять) допустимые границы (пределы) вариации признака:

границы колебания признака

Нормативные значения показателей вариации устанавливаются с учетом содержания признака. Например:

-          устойчивые количественные признаки характеризуются нормативным значением: = 8-10%;

-          то же для качественных признаков: =3-5%.

4. Коэффициент вариации - относительная величина, используемая для оценки вариаций различных признаков.

1) Для количественных признаков (от среднего линейного отклонения):

                                                    (2.8.)

2) Для качественных и количественных признаков с высокой долей качества (от среднего квадратического отклонения):

;                                                    (2.9.)                        

Где: - среднее линейное отклонение; хi - значение признака i-ой группы; - среднее значение признака в исследуемой совокупности; п - число единиц совокупности; fi - число единиц i-й группы (частота или частость).

           Для количественных признаков применяется линейный коэффициент вариации, для качественных и количественных с высокой долей качества – коэффициент вариации. Наиболее устойчивыми признаются признаки с наименьшим линейным отклонением или коэффициентами вариации.

2.2.           Расчет показателей вариации

Для построения уравнения множественной регрессии сначала необходимо оценить признаки-факторы на вариабельность (устойчивость). Для этого необходимо произвести расчет показателей вариации для каждого из признаков.

Программа «Elvis» производит расчет показателей вариации признаков. Полученные результаты расчетов для каждого из признаков следующие:

Таблица 6

Показатели вариации для соответствующих признаков

Для составления уравнения многофакторной корреляционной связи следует выбрать два наиболее результативных признака-фактора. В нашем случае анализ линейных коэффициентов вариации позволяет заключить, что Х1 и Х2 признаки-факторы являются устойчивыми.

3. Количественное измерение тесноты связи признака-функции и признаков-факторов методом парной корреляции

3.1. Понятие  корреляции

Основной задачей корреляционного анализа является  выявление связей между случайными переменными и оценка её тесноты. Исходя из индивидуального задания, необходимо выявление зависимости между общими объемами глубокого разведочного бурения (Y) и объемами глубокого поискового разведочного бурения, разведочного бурения на нефть и газ и на природный газ. (X).

Корреляцией называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениями одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака х закономерным образом изменяется среднее значение признака у; в то время как в каждом отдельном случае значение признака у (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.

В статистике различают следующие варианты зависимостей:

1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результирующим и факторным или двумя факторными).

2. Частная корреляция – зависимость между результирующим и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включаемых в исследование.

Парный линейный коэффициент корреляции. При прямолинейной форме связи между признаком-функцией и признаком-фактором показатель тесноты связи двух признаков определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r, рассчитанного по формуле (3.1.):

                                       (3.1.)

где - значения признаков х и у соответственно для i-ro объекта;  - средние арифметические значения этих признаков.

Или по формуле:

,                                                (3.2.)

где - средние значения  признаков х и у; - среднеквадратичное отклонения этих признаков.

Отметим, что .Чем ближе к единице, тем сильнее связь. Если , то между признаком-функцией и признаком-фактором существует прямая зависимость (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака); а если , то между признаками существует обратная связь (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака). Равенство коэффициента нулю () свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента  -1 или +1 показывает наличие функциональной связи.

Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит индекс корреляции (форма корреляционного отношения). Он определяется по формуле:

                                                             (3.3.)

где - общая дисперсия результативного признака, отображающая совокупное влияние всех признаков;   - остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме факторов – признаков.

Справедливо и следующее соотношение:

                     (3.4.)

где - индивидуальные значения результативного признака; - его общее среднее значение; индивидуальные значения у по уравнению связи.

Поскольку исходное поле качественное, ряды непрерывны и сонаправлены, и имеет место балансовая связь, допустимо в качестве показателя тесноты связи между признаком-функцией и признаком-фактором принять линейный (парный) коэффициент корреляции.

3.2. Анализ коэффициентов парной корреляции

Этот анализ выполняется для всех видов связи (кроме полной балансовой) между признаками-функциями и признаками-факторами. Цель данного анализа - получение коэффициента парной корреляции. На основе исходного информационного поля были получены следующие коэффициенты парной корреляции:

Таблица 7

Полученные коэффициенты парной корреляции

Таким образом мы видим, что наиболее надежной является связь признака-функции с признаком-фактором Х1. Знак перед коэффициентом корреляции говорит о прямой или обратной связи между признаком-функцией и признаком-фактором. Соответственно, если знак «+» связь прямая, если «-» - обратная, что находит свое отражение при последующем отборе признаков для построения уравнения множественной регрессии (т.к. нельзя брать признаки, имеющие коэффициенты с разными знаками).

Выполним ранжирование признаков по коэффициенту парной корреляции по мере его убывания:

1)      Объем глубокого разведочного бурения на нефть и газ (Х1) = 0,994;

2)      Объем глубокого разведочного бурения на природный газ (Х2) = 0,795;

3)      Объем глубокого разведочного поискового бурения (Х3) = 0,668;

4)      Объем глубокого опорного и параметрического бурения (Х4) = -0,055.

Значения 1,2,3 коэффициентов имеют одинаковый знак и корректны, что подтверждает линейный характер связи, причём данные значения положительны, что говорит о прямой связи между признаком-функцией и признаком-фактором. Значение 4-ого признака отрицательно по знаку, что значит что связь имеет обратный характер.  Анализ коэффициентов парной корреляции позволяет заключить, что связь между общим объемом глубокого разведочного бурения (Y) и объемами бурения на нефть и газ (Х1) и глубокого бурения на природный газ (Х2) достаточно надежна. Важно отметить, что Х3, Х4 некачественные сводки таблицы, не влияющая на выбор признака-фактора для построения уравнения множественной регрессии .

4. Построение уравнений многофакторной корреляционной связи

4.1. Понятие  множественной регрессии

Основными задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Регрессия – это  зависимость среднего значения одной величины y от другой величины (или нескольких величин) х.

        Существует несколько видов регрессии:

1.       числа явлений (переменных), учитываемых в регрессии, различают:

       простую регрессию. Она представляет собой регрессию между двумя переменными;

       множественную или частную регрессию. Это регрессия между зависимой переменной у и несколькими причинно обусловленными независимыми переменными х1, х2, …, хm. В случае множественной регрессии предполагается существование множества одновременно развивающихся не зависимых друг от друга цепей причинно-следственных связей, среди которых часть может соответствовать прямой зависимости, а часть – обратной.