т.е. ради “справедливости” необходимо считать, что при участии игроков в двух играх их выигрыши в отдельных играх должны складываться.

    Определение. Вектором цен (вектором Шепли) игры с характеристической функцией u называется n-мерный вектор

    j (u) = (j₁(u), j₂(u), ..., j_n(u)),

удовлетворяющий аксиомам Шепли.

    Существование вектора Шепли вытекает из следующей теоремы

Теорема. Существует единственная функция j, определённая для всех игр и удовлетворяющая аксиомам Шепли.

    Определение. Характеристическая функция w_S(T), определённая для любой коалиции S, называется простейшей, если

    w_S(T) =

Содержательно простейшая характеристическая функция  описывает такое положение дел, при котором множество игроков  S выигрывает единицу тогда и только тогда, когда оно содержит некоторую основную минимальную выигрывающую коалицию S.

    Можно доказать, что компоненты вектора Шепли в явном виде запишутся следующим образом

где t – число элементов в T.

    Вектор  Шепли содержательно можно интерпретировать следующим образом: предельная величина, которую вносит i-й игрок в коалицию T, выражается как

    u(T) - u(T \{i})

и считается  выигрышем i-го игрока;  g_i (T) – это вероятность того, что i-й игрок вступит в коалицию T \{i}; j_i (u) – средний выигрыш i-го игрока в такой схеме интерпретации. В том случае, когда u – простейшая,

Следовательно

где суммирование по T распространяется на все такие выигрывающие коалиции T, что коалиция T \{i}не является выигрывающей. 

    Пример. Рассматривается корпорация из четырёх акционеров, имеющих акции соответственно в следующих размерах

    a₁ = 10, a₂ = 20, a₃ = 30, a₄ = 40.

Любое решение утверждается акционерами, имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем, равным 1. Поэтому данная ситуация может рассматриваться как простая игра четырёх игроков, в которой выигрывающими коалициями являются следующие:

{2; 4}, {3; 4},

{1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {2; 3; 4}, {1; 3; 4},

{1; 2; 3; 4}.

Найдём  вектор Шепли для этой игры.

    При нахождении j₁ необходимо учитывать, что имеется только одна коалиция T = {1; 2; 3}, которая выигрывает, а коалиция T \{1} = {2; 3} не выигрывает. В коалиции T имеется  t = 3 игрока, поэтому

Далее, определяем все выигрывающие коалиции, но не выигрывающие без 2-го игрока: {2; 4}, {1; 2; 3}, {2; 3; 4}. Поэтому

Аналогично  получаем, что  , .

    В результате получаем, что вектор Шепли  равен  . При этом, если считать, что вес голоса акционера пропорционален количеству имеющихся у него акций, то получим следующий вектор голосования

который, очевидно, отличается от вектора Шепли.

    Анализ  игры показывает, что компоненты 2-го и 3-го игроков равны, хотя третий игрок имеет больше акций. Это получается вследствие того, что возможности образования коалиций у 2-го и 3-го игрока одинаковые. Для 1-го и 4-го игрока ситуация естественная, отвечающая силе их капитала. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение

     Итак, подводя итоги проведенной работы можно сказать, что математическая теория игр способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход.

     В процессе сбора данных об изучаемом  явлении, анализа этих данных и введения при построении модели различных предположений накапливаются ошибки. Они же могут выражаться числами в матрице выигрышей. Поэтому точность в определении значения игры и оптимальных стратегий игроков оправдана не всегда. А также, следует заметить, что погрешность в оценке игроком своего выигрыша не может привести к практически серьёзным последствиям и небольшое отклонение игрока от оптимальной стратегии не влечёт за собой существенного изменения в его выигрыше. Ввиду этих причин в курсовой работе были приведены примеры решения матричных игр, а так же предоставлен код программы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  использованной литературы

1. Блекуэлл  Д.А. Теория игр и статистических решений. М., Изд. иностранной литературы, 1958
2. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. М., Физматгиз, 1961
3. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: «Наука», 1986
4. Воробьёв И.Н. Математическая теория игр. М.: «Знание», 1976
5. Дрешер М. Стратегические игры. Теория и приложения. М., 1964
6. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: «Мир», 1964
7. Крапивин В.Ф. Теоретико-игровые методы синтеза сложных систем в конфликтных ситуациях. М.: «Советское радио», 1972
8. Крушевский А.В. Теория игр: [Учебное пособие для вузов]. Киев: «Вища школа», 1977
9. Льюис Р., Райфа Х. Игры и решения. М.,1961
10. Матричные игры. [Сборник переводов]. Под ред. Воробьёва И.Н. М., Физматгиз, 1961
11. Оуэн Г. Теория игр. [Учебное пособие]. М.: «Мир», 1973
12. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семен Е.А. Теория игр. М., 1989