Теория игр

    Отношение стратегической эквивалентности игр  и их характеристических функций переносится на отдельные дележи :

    пусть u~u¹ , т.е. выполняется (5), и x = (x₁, ..., x_n) – дележи в условиях характерис- тической функции u; рассмотрим вектор  x¹ = ( , ..., ) , где = k x_i+C_i ; для него выполняется

    

= k x_i + C_i  ³  k u( i ) + С_i = u¹( i );

т.е. выполняется  условие индивидуальной рациональности, и

       

= = k + = k u(N) + = u¹(N)

т.е. выполняется  условие коллективной рациональности. Поэтому вектор является дележом в условиях u¹. Говорят, что делёж  x¹ соответствует дележу x при стратегической эквивалентности u~u¹.

    Кооперативная игра называется нулевой, если все значения её характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности .

    Всякая  несущественная игра стратегически  эквивалентна нулевой .

    Определение. Кооперативная игра с характеристической функцией u имеет (0,1)-редуцированную форму, если выполняются соотношения :

    u( i ) = 0      ( i Î N ),

    u(N) = 1.

    Теорема. Каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1)-редуцированной форме.

    Сформулированная  теорема показывает, что мы можем  выбрать игру в (0,1)-редуцированной форме  для представления любого класса эквивалентности игр. Удобство этого выбора состоит в том, что в такой форме значение u(K) непосредственно демонстрирует нам силу коалиции S (т.е. ту дополнительную прибыль, которую получают члены коалиции, образовав её), а все дележи являются вероятностными векторами.

    В игре в (0,1)-редуцированной форме дележём  является любой вектор x = (x₁, ..., x_n), для которого

    x_i ³ 0      (i Î N)          

= 1.

    § 1.  ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ  ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ  ФУНКЦИЙ

    С  МАЛЫМ  ЧИСЛОМ  ИГРОКОВ.

 

    Как было сказано ранее, для каждого  множества игроков N существует единственный класс стратегически эквивалентных несущественных игр с множеством игроков N. Таким образом, остаётся рассмотреть классы существенных кооперативных игр.

    Рассмотрим  сначала классы игр в (0,1)-редуцированной форме для случая игр с нулевой суммой.

    1. Игры 2-х игроков. Всякая кооперативная игра двух игроков с нулевой суммой является несущественной.

    Доказательство. Предположим, что имеется существенная кооперативная игра двух игроков с характеристической функцией u, Тогда она должна быть стратегически эквивалентна некоторой игре в (0,1)-редуцированной форме с характеристической функцией u¹, что означает следующее :

    u¹(1) = 0,   u¹(2) = 0,   u¹(1,2) = 1                 

По свойству дополнительности должно

    u¹(2) = u¹(1,2) – u¹(1) = 1 – 0 =1,

что противоречит (*). А это значит, что наше предположение  о существенности кооперативной игры двух игроков с нулевой суммой неверно.

    Итак, класс кооперативных игр двух игроков с нулевой суммой ограничивается несущественными играми. 

    2. Игры 3-х игроков. Пусть u – характеристическая функция существенной игры в (0,1)-редуцированной форме, тогда

    u(1) = u(2) = u(3) = 0,  u(1,2,3) = 1.

    По  свойству дополнительности имеем :

    u(1,2) = u(1,2,3) – u(3) = 1– 0 =1,

    u(1,3) = u(1,2,3) – u(2) = 1– 0 =1,

    u(2,3) = u(1,2,3) – u(1) = 1– 0 =1,

и, таким  образом, характеристическая функция  полностью определена. Итак, имеется два класса кооперативных игр трёх игроков с нулевой суммой: класс существенных и класс несущественных игр. 

    3. Игры 4-х игроков. Рассмотрим все классы стратегической эквивалентности таких игр.

    Прежде  всего имеется класс несущественных игр в (0,1)-редуцированной форме определим характеристическую функцию u такой игры

    u(1) = u(2) = u(3) = u(4) = 0

    u(1,2,3,4) = 1.

    Исходя  из свойства дополнительности, получаем

    u(1,2,3) = u(1,2,3,4) – u(4) = 1– 0 =1;

    u(1,2,4) = u(1,2,3,4) – u(3) = 1– 0 =1;

    u(1,3,4) = u(1,2,3,4) – u(2) = 1– 0 =1;

    u(2,3,4) = u(1,2,3,4) – u(1) = 1– 0 =1.

    Теперь  необходимо определить значения характеристической функции на коалициях двух игроков. Всего таких коалиций шесть

    (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

    Характеристическая  функция на этих коалициях согласно свойству дополнительности удовлетворяет только следующим соотношениям :

    u(1,4) = 1– u(2,3),

    u(1,3) = 1– u(2,4),

    u(1,2) = 1– u(3,4).

    Так как значений неизвестных шесть, а соотношений только три, то значения из шести могут быть выбрана произвольно. Обозначим эти произвольные значения через x₁, x₂, x₃,  т.е.

    u(1,4) = x₁ , u(2,4) = x₂ , u(3,4) = x₃ ,

Тогда

    u(2,3) = 1– x₁ , u(1,3) = 1– x₂ , u(1,2) = 1– x₃ .

Кроме того должно быть

    0 £ x₁, x₂, x₃ £ 1 ,

так как  значение характеристической функции  на коалиции из двух игроков не может быть меньше, чем значение характеристической функции для одного из этих игроков (равное нулю для одного игрока), и не может быть больше, чем значение характеристической функции для коалиции из трёх игроков (равное 1 для трех игроков). Геометрически (x₁, x₂, x₃)  можно изобразить как точку единичного куба, т.е. каждому классу стратегической эквивалентности игр четырёх игроков будет соответствовать точка единичного куба.

    Итак, множество классов стратегической эквивалентности существенных игр четырёх игроков бесконечно и зависит от трёх произвольных параметров.

     

    4. Игры, состоящие из более чем 4-х игроков, имеют большее разнообразие классов стратегической эквивалентности существенных игр.

    Так, размерность множества классов  игр n игроков равна , т.е. имеется произвольных параметров.

Рассмотрим  теперь кооперативные игры без условия постоянства суммы. 

    1. Для игр 2-х игроков множество N={1,2}, условия редуцированности дают

    u(Æ) = u(1) = u(2) = u(1,2) = 1.

Таким образом, существенные кооперативные  игры двух игроков с ненулевой суммой составляют один класс стратегической эквивалентности. 

    2. Для игр 3-х игроков множество N={1,2,3}, условия редуцированности дают

    u(Æ) = u(1) = u(2) = u(3) = 0;  u(1,2,3) = 1.

Значения  характеристической функции на множествах коалиций двух игроков произвольные (здесь нет условия дополнительности)

u(1,2) = C₃, u(1,3) = C₂, u(2,3) = C₁,

но удовлетворяющие  условию

0 £ C₁, C₂, C₃ £ 1.

Таким образом, классы стратегической эквивалентности  общих кооперативных игр трёх игроков могут быть поставлены в соответствие точкам трёхмерного единичного куба подобно тому, как это получилось для игр 4-х игроков с нулевой суммой.

    Для игр более 3-х игроков с ненулевой  суммой рассмотрения аналогичны. 

    Для исследования игр большое значение имеет возможность учёта предпочтения дележей, который осуществляется с помощью понятия доминирования.

    Определение. Пусть имеется два дележа x = (x₁, ..., x_n) и y = (y₁, ..., y_n) в кооперативной игре G = {N,u}, и KÌ N – некоторая коалиция. Тогда делёж x  доминирует y  по коалиции K, если

    1) £ u(K)  (свойство эффективности доминирующего платежа)

    2) x_i > y_i  для всех  iÎK  (свойство предпочтительности) 

    Свойство  эффективности означает, что сравниваемый коалицией делёж x должен быть, реализуемым этой коалицией: сумма выигрышей каждого из членов коалиции не должна превосходить уверенно получаемое ею количество. В противном случае коалиция, встретившись с дележём, дающим ей столько, сколько она самостоятельно не в состоянии добиться, должна согласиться на него и не заниматься его сравнением с какими либо другими дележами.