Теория игр

                                  

                                                                          3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                            1                                              2

    

                                                                 Рис. 7 
 
 

Это означает, что точка  x  должна лежать ближе к i-й вершине основного треугольника (см. рис. 7), чем прямая

                                   x_i = 1 - С_i     (i = 1,2,3)                                         

Из неравенства (10) путём суммирования получим

x₁ + x₂ + x₃ £ 3 - (С₁ + С₂ + С₃)

или, учитывая, что  x₁ + x₂ + x₃ = 1, получим

                                        С₁ + С₂ + С₃ £ 2.                                                  

Неравенство (12) является необходимым условием существования  непустого с-ядра. С другой стороны, если (12) выполняется, то можно взять такие неотрицательные e₁, e₂, e₃, чтобы

,

и положить

x_i = 1 - C_i - e_i     (i =

)

Такие значения  x_i и удовлетворяют неравенствам (10), т.е. такой делёж x = (x₁, x₂, x₃) принад- лежит с-ядру.

    Геометрически непустое с-ядро является заштрихованным треугольником (рис. 7), со сто- ронами, выраженными уравнениями (11) 
 

                            3                                                                      3 
 
 
 

      
 
 
 
 

     1                                             2                      1                                              2

    

                  Рис. 8                                                                     Рис. 9 

при условии, что выполняется соотношение

x₁ + x₂ + x₃ = 1,

и решения  любой пары уравнений (11) являются неотрицательными. Так, например, рассмот- рим систему

x₁ = 1 - С₁,  x₂ = 1 - С₂.

Поскольку  0 £ С₁ £ 1, 0 £ С₂ £ 1, то  x₁, x₂ ³ 0. Отсюда получаем

x₃ = 1 - x₁ - x₂ = 1 - (1 - С₁) - (1 - С₂) = С₁ + С₂ - 1.

Для того, чтобы было x₃ ³ 0, необходимо чтобы

С₁ + С₂ - 1 ³ 0

или

С₁ + С₂ ³ 1.

В этом случае с-ядро представлено на рис.7 в виде заштрихованного треугольника внутри основного треугольника. Аналогично рассматриваются остальные возможные варианты сочета- ний неравенств. Например, если С₁ + С₂ < 1, то с-ядро имеет вид заштрихованного четырёх- угольника внутри основного треугольника (рис.8). Вообще многогранник, представляющий с-ядро, образуется как выпуклый многогранник пересечением прямых (11) и строк основного треугольника. Если, например, выполняются неравенства

С₁ + С₂ < 1;  С₂ + С₃ < 1;  С₁ + С₃ < 1,

то  с-ядро представляется в виде шестигранника, заштрихованного на рис.9. 

    Очевидно, в решение кооперативной игры должны входить дележи, лучшие с  определён- ной точки зрения. Так, дележи, входящие в с-ядро, являются устойчивыми в несколько пассив- ном смысле, т.е. при этих обстоятельствах нет оснований отклоняться от такого дележа. Одна- ко, найти делёж, который не только не доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам доминировал бы любой другой делёж, не удаётся. Поэтому решение отыскивают на пути расширения класса дележей . И это расширение состоит в том, что решением игры должен быть не один делёж, а некоторое их множество. 

    Дж. фон Нейман  и  О. Моргенштерн  предложили потребовать от множества дележей, которое принимается в качестве решения кооперативной игры следующие два свойства: внут- реннюю устойчивость, состоящую в том, чтобы дележи из решений нельзя было противопоста- вить друг другу, и внешнюю устойчивость, состоящую в возможности каждому отклонению от решения противопоставлять некоторый делёж, принадлежащий решению. В результате мы приходим к следующему определению.

    Определение. Решением по Нейману-Моргенштерну (Н-М-решением) кооперативной игры называется множество R дележей в нём, обладающее следующими свойствами :

    1) внутренняя устойчивость: никакие  два дележа из R не доминируют друг друга;

    2) внешняя устойчивость: каков бы  ни был делёж S не принадлежащий R, найдётся делёж r, принадлежащий R, который доминировал бы S.

    Содержательная  интерпретация Н-М-решения состоит  в том, что любые две нормы пове- дения, соответствующие Н-М-решению, не могут быть противопоставлены друг другу; каково бы ни было отклонение от допустимых поведений, найдётся такая коалиция, которая будет стремиться к восстановлению нормы.

    Теорема. Если в кооперативной игре существует с-ядро C и Н-М-решение R, то CÌ R.

    Свойства  Н-М-решений.

    Н-М-решение  кооперативной игры не может состоять только из одного дележа, т.к. в этом случае характеристическая функция  игры несущественная.

    Недостатки  Н-М-решения.

1. Известны  примеры кооперативных игр, которые  не имеют Н-М-решений. Более  того, в настоящее время не известно каких-либо критериев, позволяющих судить о наличии у кооперативных игр Н-М-решений. Тем самым заложенный в Н-М-решении принцип оптимальности не является универсально реализуемым, и область его реализуемости пока остаётся неопределён- ной.

2. Кооперативные  игры, если не имеют Н-М-решения,  то, как правило, более одного. Поэтому принцип оптимальности, приводящий к Н-М-решению, не является полным: он, вообще говоря, не в состоянии указать игрокам единственной системы норм распределения выигрыша.

3. Решения  существенных кооперативных игр  состоит более, чем из одного  дележа. Таким образом, даже выбор какого-либо конкретного Н-М-решения ещё не определяет выигрыша каждого из игроков.

4. Понятие  Н-М-решения отражает только в  очень малой степени черты справедливости.

    Перечисленные недостатки отражают положение дел  в действительности: большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются непосредственному сравнению по их предпочтительности.

    Перечисленные недостатки Н-М-решения коалиционных игр способствуют поискам новых подходов. Одним из таких подходов является подход Шепли, суть которого в том, что он строиться на основании аксиом, отражающих справедливость дележей.

    Определение. Носителем игры с характеристической функцией u называется такая коали-ция T, что

    u(S) = u(S Ç T)

для любой  коалиции S.

    Смысл носителя T состоит в том, что любой игрок, не принадлежащий T, является нейтральным, он не может ничего внести в коалицию и ему ничего не следует выделять из общих средств.

Определение. Пусть u – характеристическая функция кооперативной игры n игроков, p – любая перестановка множества N игроков. Через pu обозначим характеристическую функцию  и  та- кой игры, что для коалиции  S = {i₁, i₂, ..., i_S} будет

u ({p( i₁), p( i₂), ..., p( i_S)}) = u(S).

    Содержательный  смысл функции pu состоит в том, что если в игре с характеристической функцией u поменять местами игроков согласно перестановке p, то получим игру с характерис- тической функцией pu. 
 
 

    Аксиомы Шепли.

1^о. Аксиома эффективности. Если S – любой носитель игры с характеристической функцией u, то

= u(S)

Иными словами, “справедливость требует”, что при разделении общего выигрыша носителя игры ничего не выделять на долю посторонних, не принадлежащих этому носителю, равно как и ничего не взимать с них.

2^о. Аксиома симметрии. Для любой перестановки  p  и iÎN должно выполняться

(pu) = j_i (u),

т.е. игроки, одинаково входящие в игру, должны “по справедливости” получать одинаковые выигрыши.

3^о. Аксиома агрегации. Если есть две игры с характеристическими функциями u¢ и u¢¢, то

j _i (u¢ + u¢¢) = j _i (u¢) + j _i (u¢¢),