Ответы по физике (раздел "Оптика")

Дифференциальное  уравнение ЭМВ (Максвелла)

Для вакуума, при отсутствии токов и заряда.

Уравнения Максвелла для ЭМВ:

(Ñ,D,B,H,E – писать со знаком ветора)

1-6

где E и H – напряженности, D и B – индукции электрического и магнитного полей соответственно, e₀ и m₀ – соответственно электрическая и магнитная постоянные.

Применим  к обеим частям уравнения (1) операцию rot, далее воспользуемся остальными уравнениями и векторным равенством

rot rot H = rot ¶/¶t D

Ñ={¶/¶x, ¶/¶y, ¶/¶z}

rot rot B = grad div B – Ñ ²B

[Ñ´ [Ñ´B] ]= Ñ(Ñ × B) - (Ñ×Ñ)B

div B –  скалярное произведение (Ñ × B)

используя уравнения (2) и (5) мы получим:

_{- волновое уравнение  для В} 

-скорость  света в вакууме

-волновое  уравнение для Е.

Рассмотрим частный вид волнового уравнения: (3)

[! Ф=Ф(z,t)]

где функция  Ф должна быть дважды дифференцируема. Решение будем искать в следующем  виде: Ф(z,t)=Ф₁(z+ct)+Ф₂(z-ct). (*)

если (*) подставить в (3), то получим тождество.

Смысл этих двух решений Ф₁и Ф₂ :

функция Ф2 описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью с в направлении положительных значений оси Z. В процессе движения, значения функции в каждой точке волны и форма волны не меняется. Аналогична функция Ф1 описывает волну, движущуюся в отрицательную сторону. Волна которая описывается формулой со (*), является суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях.

В общем  случае трёхмерного волнового уравнения, вводится понятие волнового вектора k, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением распространения волны (с осью Z).  k=w/c=2p/l (волновое число).

В отличие  от распространения в вакууме, в  среде скорость ЭМВ меньше c = const и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты называется дисперсией.  

Поляризация света – это физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т.е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. вектору k. Если колебания E совершаются так, что его конец описывает окружность в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны k, то такая волна называется поляризованной по кругу. 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Явление полного  внутреннего отражения.

Если  свет распространяется из среды с  большим показателем преломления  n₁ (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n₂ (оптически менее плотную) (n₁> n₂), например из стекла в воду, то, согласно (sini₂/sini₁)=(n₁/n₂)>1. Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i₂ больше, чем угол падения i₁ (см. рис.1). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления до тех пор, пока при некотором угле (i₁=i _пр) угол преломления не окажется равным p/2. Угол i_пр называется предельным углом. При углах падения i₁>i_пр весь падающий свет полностью отражается (рис. 2). 

рис.1                                                         рис.2

По мере приближения угла падения к предельному  интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного - растет. Если i₁ = i_пр , то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 2). Таким образом, при углах падения в пределах от i_пр до p/2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным отражением.

Предельный  угол i_пр определим из формулы: n₁*sini₁ = n₂*sini₂ при подстановке в нее i₂ =p/2. Тогда sini_пр = n₂/n₁ = n₂₁ . Этому уравнению удовлетворяет значениям угла i_пр при  n₂£n₁ . Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения (они  используются в оптических приборах биноклях, перископах, а также в  рефрактометрах, позволяющих определять показатели преломления тел), в световодах (светопроводах). 

Если  n₂₁<1, то может оказаться, что величина sinj, формально вычисляемая по формуле (sinj/ siny)= n₂₁, начнет превосходить единицу, т.е. sinj/n₂₁>1. Соответствующего угла преломления не существует. Поэтому преломленный угол не возникает, а свет отражается полностью. Это явление называется полным отражением. Угол падения, при котором оно возникает, определяется условием j³j₀, причем sinj₀= n₂₁. Величина j₀ называется предельным углом полного отражения. 

5. Линзы. Толстые  и тонкие. Рассеивающие  и собирающие. Основные  характеристики линз.

Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая,  а вторая - сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов.

Определение толстой линзы  не нашел.

Материалом  для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т.п. По внешней форме  линзы делятся на:1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые.

Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению  с радиусами поверхностей, ограничивающих линзу. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие. Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с отрицательной - рассеивающими.

Основные  характеристики: прямая, проходящая через  центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Для всякой линзы существует точка называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центр О линзы для простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линзы с одинаковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центр О лежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью); главная оптическая плоскость - плоскость, походящая через оптический центр линзы перпендикулярно главной оптической оси. 

6. Формула тонкой  линзы, построение  изображений в линзах.

Формула тонкой линзы :

(N-1)(1/R₁+1/R₂)=1/a+1/b.

N= n/n₁- относительный показатель преломления (n и n₁ - соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды)

R₁, R₂ - радиусы сфер, ограничивающих линзу.

a - расстояние от предмета до оптической плоскости линзы.

b - расстояние от изображения до оптической плоскости линзы.

Если  а=¥, т.е. лучи падают на линзу параллельным пучком, то 1/b=(N-1)(1/R₁+1/R₂).

Соответствующее этому случаю расстояние b=OF=f называется фокусным расстоянием линзы, определяемым по формуле f=1/((N-1)(1/R₁+1/R₂)).

Если  b=¥, т.е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из линзы параллельным пучком, то а=OF=f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F, лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус - это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оси.

Величина (N-1)(1/R₁+1/R₂)=1/f=Ф называется оптической силой линзы. Ее единица - диоптрия (дптр). Диоптрия - оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м: 1дптр=1/м.

Поэтому можно записать : 1/a+1/b=1/f.

Построение  изображения предмета в линзах осуществляется с помощью следующих лучей: 1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления; 2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы; 3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси. Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным - мнимое изображение (оно прямое).

Пример  построения изображения: 

Изображение отсутствует       мнимое, увеличенное

мнимое, уменьшенное, прямое