Текстовые задачи в школьном курсе математике

    Перевод текста на язык математики.

    В результате анализа задачи текст  задачи записывают кратко с использованием условной символики. После того как данные задачи специально вычленены в краткой записи, следует перейти к анализу отношений и связей между этими данными.

    Для этого осуществляется перевод текста на язык графических моделей различного вида: чертеж, схема, график, таблица, символический  рисунок, формула, уравнение и др. Перевод текста в форму модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто трудно выявить при чтении текста.

    Выполненный чертеж (рисунок) по тексту задачи позволяет  фиксировать ход рассуждений  при ее решении, что способствует формированию общих подходов к решению  задач.

    Поэтому к выполнению чертежей нужно предъявлять  требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности  все данные, входящие в условие  задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.

    Формирование  умения выполнять чертеж задачи будет  успешным, если учащиеся будут уметь  читать соответствующий чертеж.

    В связи с этим учащимся нужно предлагать упражнения на составление текста задачи по чертежу, рисунку.

    Установление  отношений между  данными и вопросом.

    Реализация  этого компонента общего приема решения  задач предусматривает установление отношений между:

• данными условия;
• данными вопроса;
• данными условия и вопросом задачи.

    На  основе анализа условия и вопроса  задачи определяется способ решения задачи (вычислить, построить, доказать), выстраивается последовательность конкретных действий.

    При этом устанавливается достаточность, недостаточность или избыточность данных.

    Выделяются  четыре типа отношений между объектами  и их величинами: равенство, часть/целое, разность, кратность, сочетание которых  определяет разнообразие способов решения  задач.

    Примером  такого отношения является формула, имеющая большое число разнообразных проявлений (связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения; связь цены, стоимости и количества изделий и т.д.). 
 
 

    План  решения.

На основании  выявленных отношений между величинами объектов выстраивается последовательность действий - план решения. Особое значение имеет составление плана решения для сложных, составных задач.

    Осуществление плана решения  включает:

1. решение задачи - выполнение действий;
2. запись решения задачи;
3. выделение способов решения.

    Запись  решения задачи может осуществляться в виде записи последовательных определенных действий (с пояснениями и без) и в виде выражения (развернутого или сокращенного).

     Проверка  и оценка решения  задачи с точки зрения адекватности плана решения, способа решения, ведущего к результату: рациональность способа, нет ли более простого.

    Существуют  различные методы решения текстовых  задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

      Например, при алгебраическом методе  решения задачи составляются  уравнения или неравенства, при геометрическом – строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

    Следует иметь в виду, что практически  каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называют способы решения.

    Иногда  для краткости изложения, вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто – «задача решена арифметически».

    Арифметический  метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

    Пример. Поют в хоре и занимаются танцами студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

    Решение.

    1-й  способ.

1. (чел.) – удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2. (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3. (чел.) – поют в хоре;
4. (чел.) – занимаются танцами;
5. (чел.) – занимаются художественной гимнастикой.

    2-й  способ.

1)  (чел.) – настолько больше студентов поют в хоре, чем

занимаются  художественной гимнастикой;

2)  (чел.) – удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3)  (чел.) – поют в хоре;

4)  (чел.) – занимаются художественной гимнастикой;

5)  (чел.) – занимаются танцами.

    Ответ: студента поют в хоре, студентов занимаются художественной гимнастикой, студентов занимаются танцами.

    Алгебраический  метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

    Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

    Решение.

    1-й  способ.

      Пусть д./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда д./день – новая производительность, д. – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение , решив которое найдем . первоначальная производительность рабочего деталей в день, он должен сделать деталей.

    2-й  способ.

    Пусть д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда д./день – новая производительность, д./день – первоначальная производительность рабочего по условию получаем уравнение , решив которое найдем . Рабочий должен сделать деталей, его первоначальная производительность деталей в день.

    Ответ: деталей в день; деталей.

    Геометрический  метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

    Пример. Из двух городов А и В, расстояние между которыми км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна км/ч, второго – км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

    Решение.

    1-й  способ.

    Математическую  модель задачи представим в виде диаграммы. Причем длину одного отрезка по вертикали  за км. Длину одного отрезка по горизонтали - за ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за ч, ч, ч и т. д. Из чертежа видим, что через ч они встретятся.

    2-й  способ.

    В прямоугольной системе координат  по горизонтали отложим время  движения (в часах), по вертикали - расстояние (в километрах).

    Примем  длину одного отрезка по вертикали  за км, а длину одного отрезка по горизонтали – за ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией , второго . Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значение равно . Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно .

    3-й  способ.

      Пусть время движения туристов  до встречи изображается отрезком  ОТ, а скорость сближения - отрезком OS. Тогда площадь S прямоугольника OSOT соответствует расстоянию между городами А и В. Учитывая, что туристы сближаются каждый час на (км), расстояние между городами равно км, имеем уравнение , решив которое находим (ч). Итак, туристы встретятся через ч. 

       

    Логический  метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых являются задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание». Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

    Пример. Некто истратил р. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил р., у него осталось р.. Сколько денег было вначале?

    Решение.

    Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся р., добавляем к ним истраченные р. ( р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги ( р.). После этого добавляем р. и находим, сколько денег было до того, как истратили р. ( р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги ( р.), прибавляем истраченные в первый раз р. и находим первоначальное количество денег ( р.). Ответ: первоначально было р.

    Иногда  в ходе решения задачи применяются  несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. д. в этом случае считают, что задача решается комбинированным методом.

    Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй – треть того, что внесли все его товарищи, третий – четверть того, что все его товарищи, четвертый – оставшиеся р. Сколько было уплачено за телевизор?

    Решение.

    Пусть первый товарищ внес р., второй – р., третий – р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.   

    Комбинированный метод позволяет получить ответ  на требование задачи более простым путем.

    Решение начнем алгебраическим методом.