Имитационное моделирование Монте-Карло

    Задача  аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой  переменной (фактора) вид вероятностного распределения. При этом основные вероятностные  распределения, используемые в анализе  рисков, могут быть следующими: нормальное, постоянное, треугольное, пошаговое. Эксперт  присваивает переменной вероятностное  распределение, исходя из своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений: симметричных (например, нормальное, постоянное, треугольное) и несимметричных (например, пошаговое  распределение).

    Существование коррелированных переменных в проектном  анализе вызывает порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных - компьютер, посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии. Допустим цена и количество проданного продукта есть две отрицательно коррелированные  переменные. Если не будет уточнена связь между переменными (коэффициент  корреляции), то возможны сценарии, случайно вырабатываемые компьютером, где цена и количество проданной продукции  будут вместе либо высоки, либо низки, что естественно негативно отразится  на результате.

    Проведение  расчетных итераций является полностью  компьютеризированная часть анализа  рисков проекта. 200-500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из специфицированного интервала  в соответствии с вероятностными распределениями и условиями  корреляции. Затем рассчитываются и  сохраняются результативные показатели (например, NPV). И так далее, от итерации к итерации.

    Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов, собранных  в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно  представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность  каждого возможного случая (имеются  в виду вероятности возможных  значений результативного показателя).

    Часто при сравнении вариантов капиталовложений удобнее пользоваться кривой, построенной  на основе суммы вероятностей (кумулятивный профиль риска). Такая кривая показывает вероятности того, что результативный показатель проекта будет больше или меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается  положением и наклоном кумулятивного  профиля риска.

    Кумулятивный (интегральный, накопленный) профиль  риска, показывает кумулятивное вероятностное  распределение чистой текущей стоимости (NPV) с точки зрения банкира, предпринимателя  и экономиста на определенный проект. Вероятность того, что NPV < 0 с точки  зрения экономиста - около 0.4, в то время  как для предпринимателя эта вероятность менее 0.2. С точки зрения банкира проект кажется совсем безопасным, так как вероятность того, что NPV > 0, около 95%.

    Будем исходить из того, что проект подлежит рассмотрению и считается выгодным, в случае, если NPV > 0. При сравнении  нескольких одноцелевых проектов выбирается тот, у которого NPV больше при соблюдении сказанного в предыдущем предложении.

    Рассмотрим 5 иллюстративных случаев на РИСУНКЕ 1 принятия решений⁴.

Случаи 1-3 имеют дело с решением инвестировать в отдельно взятый проект, тогда как два последних  случая (4, 5) относятся к решению-выбору из альтернативных проектов. В каждом случае рассматривается как кумулятивный, так и некумулятивный профили  риска для сравнительных целей. Кумулятивный профиль риска более  полезен в случае выбора наилучшего проекта из представленных альтернатив, в то время как некумулятивный профиль риска лучше индуцирует вид распределения и показателен  для понимания концепций, связанных  с определением математического  ожидания. Анализ базируется на показателе чистой текущей стоимости.

Случай 1: Минимальное возможное  значение NPV выше, чем нулевое

(см. Рис.1а, кривая 1).

Вероятность отрицательного NPV равна 0, так как нижний конец  кумулятивного профиля риска  лежит справа от нулевого значения NPV. Так как данный проект имеет  положительное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект принимается.  

      

Случай 2: Максимальное возможное значение NPV ниже нулевого(см. Рис.1а, кривая 2).

    Вероятность положительного NPV равна 0 (см. следующий  рисунок)., так как верхний конец  кумулятивного профиля риска  лежит слева от нулевого значения NPV. Так как данный проект имеет  отрицательное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект не принимается.

Случай 3: Максимальное значение NPV больше, а минимальное  меньше нулевого (см. Рис3а, кривая 3).

    Вероятность нулевого NPV больше, чем 0, но меньше, чем 1, так как вертикаль нулевого NPV пересекает кумулятивный профиль  рисков. Так как NPV может быть как  отрицательным, так и положительным, решение будет зависеть от предрасположенности  к риску инвестора. По-видимому, если математическое ожидание NPV меньше или  равно 0 (пик профиля рисков слева  от вертикали или вертикаль точно проходит по пику) проект должен отклоняться от дальнейшего рассмотрения.

Случай 4: Непересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных (взаимоисключающих) проектов (см. Рис.1б).

При фиксированной  вероятности отдача проекта В  всегда выше, нежели у проекта А. Профиль рисков также говорит  о том, что при фиксированной NPV вероятность, с которой та будет  достигнута, начиная с некоторого уровня будет выше для проекта  В, чем для проекта А. Таким  образом, мы подошли к правилу 1.

Правило 1: Если кумулятивные профили рисков двух альтернативных проектов не пересекаются ни в одной точке, тогда следует выбирать тот проект, чей профиль рисков расположен правее.

Случай 5: Пересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных проектов . (см. Рис.3в).

Склонные к риску инвесторы  предпочтут возможность получения  высокой прибыли и, таким образом, выберут проект А. Несклонные к риску  инвесторы предпочтут возможность  нести низкие потери и, вероятно, выберут  проект В.

Правило 2: Если кумулятивные профили риска альтернативных проектов пересекаются в какой-либо точке, то решение об инвестировании зависит от склонности к риску инвестора.

    Ожидаемая стоимость агрегирует информацию, содержащуюся в вероятностном распределении. Она получается умножением каждого  значения результативного показателя на соответствующую вероятность  и последующего суммирования результатов. Сумма всех отрицательных значений показателя, перемноженных на соответствующие  вероятности есть ожидаемый убыток. Ожидаемый выигрыш - сумма всех положительных  значений показателя, перемноженных  на соответствующие вероятности. Ожидаемая  стоимость есть, конечно, их сумма.

    В качестве индикатора риска ожидаемая стоимость  может выступать как надежная оценка только в ситуациях, где операция, связанная с данным риском, может  быть повторена много раз. Хорошим  примером такого риска служит риск, страхуемый страховыми компаниями, когда  последние предлагают обычно одинаковые контракты большому числу клиентов. В инвестиционном проектировании мера ожидаемой стоимости должна всегда применяться в комбинации с мерой  вариации, такой как стандартное  отклонение.

    Инвестиционное  решение не должно базироваться лишь на одном значении ожидаемой стоимости, потому что индивид не может быть равнодушен к различным комбинациям значения показателя отдачи и соответствующей вероятности, из которых складывается ожидаемая стоимость. 
 
 

2.4. Процесс имитации.

    Имитационное  моделирование по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) позволяет построить  математическую модель для проекта  с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения  параметров проекта, а также связь  между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта.

Блок-схема, представленная на рисунке отражает укрупненную схему работы с моделью.

    

    Применение  метода имитации Монте-Карло требует  использования специальных математических пакетов (например, специализированного  программного пакета Гарвардского университета под названием Risk-Master) , в то время  как метод сценариев может  быть реализован даже при помощи обыкновенного  калькулятора.

    Как уже отмечалось, анализ рисков с  использованием метода имитационного  моделирования Монте-Карло представляет собой “воссоединение” методов  анализа чувствительности и анализа  сценариев на базе теории вероятностей.

    Результатом такого комплексного анализа выступает  распределение вероятностей возможных  результатов проекта ( например, вероятность  получения NPV<0).  
 
 

3. Практические осуществление имитационного моделирования Монте-Карло. 

Для практического  осуществления имитационного моделирования  можно рекомендовать пакет «Crystal Ball», разработанный в виде приложения для работы в составе электронных  таблиц Excel. Генерирование случайных  чисел этот пакет осуществляет на основе использования датчика псевдослучайных  чисел, которые рассчитываются по определенному  алгоритму. Особенностью пакета является то, что он умеет генерировать коррелированные  случайные числа. 

Окончательной стадией  анализа рисков является обработка  и интерпретация результатов, полученных на стадии прогонов модели. Каждый прогон представляет вероятность события, равную

 
 

где p - вероятность единичного прогона, %;

n - размер выборки. 

Например, если количество случайных прогонов равно 5,000, то вероятность  одного прогона составляет 

p = 100 / 5,000 = 0.02 %. 

В качестве меры риска  в инвестиционном проектировании целесообразно  использовать вероятность получения  отрицательного значения NPV. Эта вероятность  оценивается на основе статистических результатов имитационного моделирования  как произведение количества результатов  с отрицательным значением и  вероятности единичного прогона. Например, если из 5,000 прогонов отрицательные  значения NPV окажутся в 3,454 случаях, то мера риска составит 69.1%.  

Рассмотрим  пример⁵ использования имитационного моделирования для анализа риска достаточно простого инвестиционного проекта. Вместо однозначных величин параметров операционной деятельности мы зададим интервалы неопределенности, предположив равномерное распределение вероятности на каждом из интервалов.  

 

Имитационное моделирование  производилось с помощью программы  «Crystal Ball». Результаты моделирования  представлены ниже в виде стандартной  для данного пакета диаграммы. 

 

Анализ диаграммы  показывает, что вероятность положительного значения NPV составляет 87%, т.е. степень  риска не превышает 13%, что, по-видимому, является более, чем приемлемо. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

      В данной работе был рассмотрен метод Монте–Карло. Этот метод имитации применим для решения почти всех задач при условии, что альтернативы могут быть выражены количественно. Построение модели начинается с определения функциональных зависимостей в реальной системе, которые впоследствии позволяют получить количественное решение, используя теорию вероятности и таблицы случайных чисел. 

      Метод имитационного моделирования Монте-Карло  является развитием сценарного подхода  к анализу рисков и одновременно может быть отнесен к группе теоретико-вероятностных  методов анализа риска.  

      На  основе статистических данных и экспертных оценок аналитиками подбираются  законы распределения некоторых  из составляющих проекта, а на основании  повторяющихся имитационных экспериментов  с заданным уровнем точности можно  подобрать закон распределения  результирующего параметра и  вычислить его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее  квадратическое отклонение.