Имитационное моделирование Монте-Карло

Но также выделяют еще один немаловажный вид имитационного  моделирования – это Монте-Карло  симуляция.

• Монте-Карло симуляция – численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

 
 
 

1.3. Применение имитационного  моделирования 

К имитационному  моделированию прибегают, когда:

• дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
• невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
• необходимо сымитировать поведение системы во времени.

 

Цель  имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов. 

Имитационное моделирование  позволяет имитировать поведение  системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно  управлять: замедлять в случае с  быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной  изменчивостью. Можно имитировать  поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны. С наступлением эпохи  персональных компьютеров производство сложных и уникальных изделий, как  правило, сопровождается компьютерным трёхмерным имитационным моделированием. Эта точная и относительно быстрая технология позволяет накопить все необходимые знания, оборудование и полуфабрикаты для будущего изделия до начала производства. Компьютерное 3D моделирование теперь не редкость даже для небольших компаний. 

Имитация, как метод  решения нетривиальных задач, получила начальное развитие в связи с  созданием ЭВМ в 1950х — 1960х годах. 

Области применения:

• Бизнес процессы
• Боевые действия
• Динамика населения
• Дорожное движение
• ИТ-инфраструктура
• Математическое моделирование исторических процессов
• Логистика
• Пешеходная динамика
• Производство
• Рынок и конкуренция
• Сервисные центры
• Цепочки поставок
• Уличное движение
• Управление проектами
• Экономика здравоохранения
• Экосистема
• Информационная безопасность

 
 
 
 

2. Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования. 

2.1. Сущность метода Монте-Карло 

         Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956гг.

        Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

         Название методу дал известный своими казино город Монте-Карло в княжестве Монако, так как именно рулетка является простейшим механическим прибором по реализации процесса получения случайных чисел, используемого в данном математическом методе.

         Идея метода чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан  обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

         Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены,  где процесс — явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

         В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета.  

Приведем  ПРИМЕР, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного  попадания равной 1 — (1/2)³ = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем»,  статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб—за попадание, решку — за «промах». Опыт считается  «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N  произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен. 

Метод Монте-Карло- это численный метод решения  математических задач при  помощи моделирования случайных величин. 

2.2. Особенности метода  Монте-Карло. 

Можно выделить две особенности метода Монте-Карло:

    Первая  особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

    Вторая  особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

    Ясно, что добиться высокой точности таким  путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло  особенно эффективен при решении  тех задач, в которых результат  нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:

    1. Построить график или таблицу  интегральной функции распределения  на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

    2.С  помощью генератора случайных  чисел выбрать случайное десятичное  число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

    3. Провести горизонтальную прямую  от точки на оси ординат  соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4.Опустить  из этой точки пересечения  перпендикуляр на ось абсцисс.

5.Записать  полученное значение х. Далее  оно принимается как выборочное  значение.

    б.Повторить  шаги 2-5 для всех требуемых случайных  переменных, следуя тому порядку, в  котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению: 

 

Предположим, что мы хотим провести мысленный  эксперимент для пяти периодов времени.

    Построим  график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени. 

Взяв еще  несколько таких выборок, можно  убедиться в том, что если используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой  величины будет появляться с такой же частотой, как и в реальном мире», и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой системы. 

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется  в трех основных ролях:

1. при моделировании сложных, комплексных операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов;
2. при проверке применимости более простых, аналитических методов и выяснении условий их применимости;
3. в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа «эмпирических формул» в технике. 

 
 

2.3. Алгоритм метода  имитации Монте-Карло.

    Шаг 1. Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности.

    Шаг 2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта.

    Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные 1000 значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

    Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно  вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта  и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе  методом сценариев.

    Теперь  необходимо определить минимальное  и максимальное значения критической  переменной, а для переменной с  пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

    По прошлым  наблюдениям за переменной можно установить частоту, с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением.