Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Октября 2011 в 00:21, задача
Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» – это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить внимание на то, что здесь приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу при желании можно вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.
Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%
Ответ. 25,5%
2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.
Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В, в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена. В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.
| 2003
Тренировочный вариант Задание В7 |
Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад? |
| |
Решение. Используя
формулу увеличения положительного число
на p%, получим, что через год сумма вклада
составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210,
т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда
р=10%
Ответ: сумма
ежегодно увеличивалась на 10%. |
| 2003
Демонстрационный вариант Задание В7 |
Владелец дискотеки
имел стабильный доход. В погоне за
увеличением прибыли он повысил цену на
билеты на 25%. Количество посетителей резко
уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда
он вернулся к первоначальной цене билетов.
На сколько процентов, владелец дискотеки
снизил новую цену билетов, чтобы она стала
равна первоначальной? |
| |
Решение. Пусть
цена билета была А руб. После повышения
на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена
билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась
к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда
р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена
составляет 80% цены после повышения., значит
владелец дискотеки снизил цену на 20%.
Ответ: 20% |
| 2003
ЕГЭ |
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня? |
| |
Решение. Пусть
А количество продукции, выпускаемое предприятием,
0,8А-количество продукции, которое стало
выпускать предприятия после уменьшения
на 20%. Из условия задачи следует уравнение
р*0,8А=А, где р –коэффициент увеличения,
откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо
увеличить выпуск продукции на 25%.
Ответ: 25% |
| 2003
ЕГЭ |
К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? |
| |
Решение. 1)
0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;
2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе; 3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%- Ответ: 32% |
| 2003 ЕГЭ |
За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии? |
| |
Решение. Пусть
А- первоначальный размер стипендии, 1,1А
– размер стипендии после повышения в
1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после
увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент
увеличения. Так как за год стипендия увеличилась
на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2,
что означает , что стипендия во 2 полугодии
составляет 120% стипендии 1 полугодия.,
т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась
на 20%
Ответ: на 20%.
|
| 2004
ЕГЭ |
Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка. |
| |
Решение. Определим
процентное содержание золота в обоих
слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92
(92%)процентное содержание золота в 1 слитке.
2) 240+60=300(г) –масса
2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание
золота во 2 слитке. Пусть х масса
куска, взятого от 1 слитка, (300-х)-
масса куска, взятого от 2 слитка,
получим уравнение 0,92х+0,8( Ответ: 100г. |
| 2004 ЕГЭ | Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве? |
| |
Решение. Пусть
х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда
70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет
медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь
во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г,
тогда получаем уравнение.
225*(70/(х+70))+75*(90/300)=( Ответ: 430г |
| ЕГЭ 2004 | В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% - ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?. |
| |
Решение. 200*0,8=160(г)-масса
чистого спирта в колбе, их колбы отлили
х г раствора, осталось (200-х)г раствора,
в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда
к раствору добавили х г воды, то масса
раствора снова стала 200 г, а концентрация
[(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г). Ответ: провизор
добавил 50г воды. |
| ЕГЭ 2004 | В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта. |
| |
Решение. После
того, как провизор отлил 200 г раствора,
стало 600г, в котором чистого спирта
0,8*600=480г, когда добавили200г воды,
то раствор снова 800г, а концентрация
чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60%
Ответ: 60% |
| ЕГЭ 2005 | Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально? |
| |
Решение. А-
первоначальное количество жителей Таганрога.
Используя формулу коэффициента увеличения,
получаем
А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000 Ответ: 280000 чел |
| ЕГЭ 2005 | Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд? |
| |
Решение. Пусть
х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи
следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда
х=4,5 л.
Ответ: 4,5 л |
| Демонстрационный вариант 2007 | Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.) |
| |
Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет
на счете в конце 1 года. Пусть х руб.
положили дополнительно на счет, из условия
задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)>
10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы
на счету было не менее 10000 руб, нужно положить
не менее12 40руб.
Ответ: 1240 руб. |
ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
Что такое проценты, как выразить число в процентах.
Некоторые дроби чаще других встречаются в повседневной жизни, и потому они получили особые названия: половина (1/2), треть(1/3), четверть(1/4) и процент(1/100).
На практике дробные числа очень часто приходится сравнивать, а делать это удобно тогда, когда они выражены в одинаковых долях – только в третьих, только в четвёртых, только в десятых... Самыми удобными оказались сотые доли, которые и называют процентами (от латинских слов pro centum – «за сто»). Отсюда и определение: процентом называется дробь 1/100 (0,01).
Проценты – это числа, представляющие собой частные случаи десятичных дробей. Любое число можно выразить десятичной дробью, значит, и в процентах. Рассудим так: единица содержит сто сотых долей, то есть 100 %. Каждое число можно представить в виде произведения единицы на это число, а значит, выразить его в процентах:
2 = 1 х 2 = 100 % х 2 = 200 %
7 = 1 х 7 = 100 % х 7 = 700 %
1,534 = 1 х 1,534 = 100 % х 1,534 = 153,4 %
0,8 = 1 х 0,8 = 100% х 0,8 = 80 %
Чтобы выразить число в процентах, надо это число умножить на 100, например:
0,58 = =(0,58 × 100)% = 58 %
Удобно сначала выразить число в виде десятичной дроби, а затем перенести запятую на два знака вправо и поставить %.
Примеры:
4 = 4,00 = 400 %; 5/10 = 0,5 = 50 %; ¾ = 0,75 = 75 %
Как выразить проценты в виде десятичной дроби.
В предыдущем разделе мы узнали, что всякое число может быть выражено в сотых долях, то есть в виде процентов. Теперь ставится обратная задача: выразить проценты в виде десятичной дроби. Например, 9 % означают 9 сотых долей. Записать это можно так: 9 % = 9/100 = 0,09. По аналогии выводим:
37 % = 37/100 = 0,37; 600 % = 600/100 = 6; 290 % = 290/100 = 2,9.
Чтобы выразить процент десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.
Например:
58 % = = 0,58
Это правило можно сформулировать и так: чтобы проценты выразить в виде десятичной дроби, надо в их числе перенести запятую на два знака влево.
Примеры:
300 % = 3; 36,7 % = 0,367; 9 % = 0,09; 0,1= 0,001
Нахождение процентов от данного числа.
Задача. В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение.
В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг). Такие задачи можно решать способом приведения к единице. Основное значение величины – 700 кг. Её мы можем принять за условную единицу. А условная единица и есть 100 %.
Кратко условия задачи можно записать так:
700 кг – 100 %
Х кг – 20 %.
Здесь за Х принята искомая масса масла. Узнаем, какая масса сои приходится на 1 %. Поскольку на 100 % приходится 700 кг, то на 1 % будет приходиться масса, в сто раз меньшая, то есть 700 : 100 = 7 (кг). Значит, на 20 % будет приходиться в 20 раз больше: 7 х 20 = 140 (кг). Следовательно, в 700 кг сои содержится 140 кг масла.
Эту задачу можно решить и иначе. Если в условие этой задачи вместо
20 % написать равное ему число 0,2, то получим задачу на нахождение дроби от числа. А такие задачи решают умножением. Отсюда получим другой способ решения:
1) 20 % = 0,2; 2) 700 х 0,2 = 140 (кг).
Чтобы
найти несколько
процентов от числа,
надо проценты выразить
дробью, а затем
найти дробь от
данного числа.
Нахождение
числа по его процентам.
Задача. Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?
Решение
480
кг волокна составляют 24 % от некоторой
массы хлопка-сырца, которую
480 кг - 24 %
Х кг - 100 %
Решим эту задачу способом приведения к единице. Узнаем, какая масса волокна приходится на 1 %. Поскольку на 24 % приходится 480 кг, то, очевидно, на 1 % будет приходиться масса в 24 раза меньше, то есть 480 : 24 = = 20 (кг). Далее рассуждаем так: если на 1 % приходится масса в 20 кг, то на 100 % будет приходиться масса, в 100 раз большая, то есть 20 х 100 = 2000 (кг)
= 2 (т). Следовательно, для получения 480 кг волокна надо взять 2 т хлопка-сырца.
Эту задачу можно решить и иначе.
Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число 0,24, то получим задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие задачи решают делением. Отсюда вытекает ещё один способ решения:
Чтобы
найти число по
данным его процентам,
надо выразить проценты
в виде дроби и
решить задачу на нахождение
числа по данной его
дроби.
Процентное отношение двух чисел.
Задача 1. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?
Решение
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:
150/500 = 3/10 = 0,3 = 30 %
Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.
Задача
2. Рабочий изготовил за смену 45 деталей
вместо 36 по плану. Сколько процентов
фактическая выработка
Решение
Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах:
45 : 36 = 1,25
= 125 %.
Решение
различных типов
задач на проценты.
Задача 1. Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.
Решение
Пусть Х – средний ежегодный процент роста населения.
(20 000 х 0,01 х Х) человек – прирост населения за первый год.
(20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через год.
(0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х)) человек – прирост населения за второй год.
20 000 + 200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) человек – количество населения через два года, а по условию задачи оно равно 22 050 человек.
Составим и решим уравнение:
20 000 +200 х Х + 0,01 х Х х (20 000 + 200 х Х) = 22 050, Х > 0.
В результате получим Х = 5.
Ответ: 5 %.
Задача 2.. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?
Решение.
Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.
Искомое решение = ________________________ х 100 %;
подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.
Ответ: на 10 %.
Задача3. Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.
Решение.
Пусть а – первая цифра двузначного числа;
b – вторая цифра двузначного числа.
Имеем систему уравнений:
1,25a = b;
0,8b = a,
учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.
Ответ: Искомое двузначное число – 45.
Задача 4. Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?
Решение.
1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.
2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)
Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.