Задачи на "Проценты"

  Решение задач на проценты 

  Задачи  на «концентрацию», «сплавы», «банковские  расчеты» – это хорошие примеры  практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных  ситуациях.  Для того чтобы осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами,  стоит обратить внимание на то, что здесь приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу при желании можно вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

  Рассмотрим  решение задач на «растворы» и  «сплавы».

  Пример 1. Смешали 30% раствор соляной кислоты (HCl) с 10% раствором. Получили 600г 15% раствора. Сколько грамм каждого раствора было?

  Решение: Первый вопрос на который надо найти  ответ – это: из каких частей состоит целое? В данной задаче целое – это раствор. Раствор состоит из воды и кислоты. Таким образом, можно заполнить таблицу:

 

 

  Составляем  систему уравнений. Первое уравнение  можно составить по количеству целого: х+у = 600.

  Второе  уравнение можно составить по кислоте или воде. Мы выбрали кислоту: 0,3х+0,1у=90

  Из  первого уравнения можно выразить Х:     х=600-у. Обозначим это выражение (1).  Данное выражение подставим во второе уравнение вместо Х:  0,3(600-у)+0,1у =90. Решаем данное уравнение:

  180-0,3у+0,1у=90

  -0,2у=90-180

  -0,2у=-90

  У= -90/(-0,2)

  У=450 (г)

  Данное  значение можно подставить в выражение (1) вместо У : х= 600-450= 150 (г).

  Ответ:450г  и 150г.

  Попробуйте  решить, пользуясь этим методом предложенные задачи:

1. Два  слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

2. В  колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое  количество 80%-го раствора этой  же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

  3. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2л  жидкости и долили 2л 45% раствора  этой же кислоты. После этого  в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров вмещает сосуд?

  4. Свежие грибы содержат 90% воды  по массе, а сухие – 12%. Сколько  сухих грибов получится из 22 кг  свежих?

  5. Первый сплав серебра и меди  содержит 70г меди, а второй сплав  – 210гсеребра и 91г меди. Взяли  225г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили и получили 300г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько г серебра содержится в первом сплаве. 

Проценты  в математике. Задачи на проценты.

Проценты  в математике.

Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно… Когда выпускник читает задание ЕГЭ. И ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.

Единственно, что  нужно запомнить железно –  что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Один процент – это одна сотая часть какого-то числа. И всё. Нет больше никаких мудростей.

Резонный вопрос – а сотая часть  какого числа? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…

Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Но мы на сложное пока не замахиваемся. Разбираемся с процентами в математике.

Я не зря акцентирую слова один процент, одна сотая. Запомнив, что такое один процент, вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.

А это, между  прочим, основное умение для решения  задач на проценты.

Попробуем?

Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент. Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на три. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.

5% от 20 это будет  20 поделить на 100 (одна сотая –  1%), и умножить на пять (5%):

5% от 20 это будет  1. Всё.

Проще некуда. Давайте-ка быстро, пока не забылось, потренируемся!

Найдите, сколько  будет: 
5%  от 200 рублей. 
8%  от 350 километров. 
120%  от 10 литров. 
15% от  60 градусов. 
4% отличников от 25 учащихся. 
10% двоечников из 20 человек.

Ответы (в полном беспорядке): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Эти числа –  количество рублей, градусов, учеников и т.д.  Я не написал, сколько чего, чтобы решать интересней было…

А если нам нужно  записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0,5. А у нас этих процентов – х. Ну и умножим 0,5 на х! Получим, что х% от 50 это – 0,5х.

Надеюсь, что  такое проценты в математике вы уяснили. И легко сможете найти любое количество процентов от любого числа. Это просто. Вам сейчас по силам примерно 60% от всех задач на проценты! Уже больше половины. Ну что, добиваем оставшееся? Ладно, как скажете!

В задачах на проценты частенько встречаются обратная ситуация. Нам дают величины (какие угодно), а надо найти проценты. Освоим и этот нехитрый процесс.

3 человека из 120 – это сколько процентов?  Не знаете? Ну, тогда, пусть это  будет х процентов.

Вычислим  х% от 120 человек. В человеках. Это мы умеем. 120 делим на 100 (вычисляем 1%) и умножаем на х (вычисляем х%). Получаем 1,2х.

Осмыслим результат.

х процентов от 120 человек, это 1,2х человек. А таких человек у нас три. Остаётся приравнять:

1,2х = 3

Решаем это уравнение:

Вспоминаем, что  за икс мы брали количество процентов. Значит 3 человека от 120 человек –  это 2,5%.

Вот и всё.

Можно и по-другому. Обойтись простой смекалкой, безо всяких уравнений. Соображаем, во сколько раз 3 человека меньше 120? Делим 120 на 3 и получаем 40. Значит, 3 меньше 120 в 40 раз.

Искомое количество людей в процентах будет  во столько же раз меньше 100%. Ведь 120 человек – это и есть 100%.  Делим 100 на 40, 100/40 = 2,5

Вот и всё. Получили 2,5%.

Есть ещё способ пропорций, но это, в сущности, то же самое в сокращенном варианте. Все эти способы – правильные. Как вам удобнее, привычнее, понятнее – так и считайте.

Опять тренируемся.

Посчитайте, сколько  процентов составляют: 
3 человека из 12. 
10 рублей от 800. 
4 учебника из 160 книг. 
24 правильных ответа на 32 вопроса. 
2 угаданных ответа на 32 вопроса. 
9 попаданий из 10 выстрелов.

Ответы (в беспорядке): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

В процессе вычислений вы вполне можете столкнуться с дробями. В том числе и неудобными, типа 1,333333… А кто вам велел калькулятором  пользоваться? Сами? Не надо. Считайте без калькулятора, как написано в теме «Дроби». Проценты всякие бывают…

Вот мы и освоили  переход от величин к процентам  и обратно. Можно браться за задачки.

Задачи  на проценты.

В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В этом разделе мы работаем с простыми задачами. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. Это мы уже умеем. После этого задача становится понятной и легко решается. Не верите? Смотрите сами. 
Пусть у нас есть такая задачка.

«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»

Как решать? Если мы узнаем, сколько 25% в рублях – то и решать-то нечего. Отнимем скидку от исходной цены – и все дела!

Но мы уже  умеем это узнавать! Сколько будет  один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Вот и умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Вот и всё. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:

14 – 3,5 = 10,5.

Десять с половиной  рублей. Это ответ.

Как только от процентов  перешли к рублям, всё стало просто и понятно. Это общий подход к решению задач на проценты.

Понятное дело, не все задачи одинаково элементарны. Есть и посложнее. Подумаешь! Мы и  их сейчас порешаем. Сложность в  том, что всё наоборот. Нам даны какие-то величины, а найти надо проценты. Например, такая задача:

«Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач.»

Раз вопрос про  проценты (а не рубли, килограммы, секунды  и т.д.), то и переходим к процентам. Узнаем, сколько процентов Вася решал  до поумнения, сколько процентов после – и дело в шляпе!

Считаем. Две  задачки из 20 – это сколько  процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.

10%. Да, немного  решал Вася… На ЕГЭ делать  нечего. Но вот он поумнел, и  решает 16 задач из 20. Считаем, сколько  это будет процентов? Во сколько раз 16 меньше 20? Навскидку и не скажешь… Придётся делить.

В 5/4 раза. Ну а  теперь делим 100 на 5/4:

Вот. 80% это уже  солидно. А главное – не предел!

Но это ещё  не ответ! Читаем задачу снова, чтобы  не ошибиться на ровном месте. Да, нас  спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? Ну, это просто. 80% - 10%  = 70%.  На 70%.

70% - это правильный ответ.

Как видите, в  простых задачках достаточно перевести  заданные величины в проценты, или  заданные проценты – в величины, как всё и проясняется. Ясное  дело, что в задачке вполне могут  быть и  дополнительные навороты. Которые, часто, к процентам отношения и не имеют вовсе. Тут, главное, внимательно условие читать и по шагам, не спеша, разворачивать задачку. Об этом мы в следующей теме поговорим.