Задачи на "Проценты"

250   -   100%

200   -     х% .

2) Число 200 меньше  числа 250 на 100% - 80% = 20%.

Ответ: 20%.

Пример 15. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько процентов?

Решение.

Пусть исходная длина кирпича — х, ширина —  у, высота — z. Тогда исходный объем  кирпича: V₁ = xyz. Новые размеры кирпича: 1,3х; 1,2у; 0,6z и новый объем: V₂ = 1,3х 1,2у 0,6z = 0,936xyz. Так как V₂ < V₁, объем кирпича уменьшился. Уменьшение V₂ — V₁ = 0,064xyz и составляет 6,4% от V_1.

Ответ: уменьшился на 6,4%.

Пример 16. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Решение.

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого  понижения цена станет равной

х — 0, 4х = 0,6x.

Второе понижение  цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения  будем иметь цену

0,6х - 0,25 0,6x = 0,45x;.

После двух понижений  суммарное изменение цены составляет:

х - 0,45x = 0,55х.

Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Ответ: 55%.

Пример 17. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

Решение.

Пусть х% - это  проценты повышения (и понижения) стоимости  единицы продукции. По определению  х% от 75 это — 75 0,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться 75 + 0,75x.

В течение второго  года цена снизится на величину

0,01x(75+0,75х) = 0,75х  + 0,0075х².

Теперь можно  записать уравнение для окончательной  цены

(75 + 0,75х) - (0,75х  + 0,0075х²) = 72;

х² = 400; отсюда x₁ =  - 20, x₂ = 20.

Подходит только один корень этого уравнения: х₂ = 20.

Ответ: 20%.

Пример 18. На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определить, какой процент годовых начисляет банк.

Решение.

Пусть банк начисляет  р% годовых.

1) Сумма в  10000 рублей, положенная на банковский  счет под р% годовых, через  год возрастет до величины

10000 + 0,01 p 10000 = 10000 + 100р руб.

Когда со счета  снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р  руб.

2) Еще через  год последняя величина за  счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + 100р) = р² + 190р + 9000 руб.

По условию  эта величина равна 11000 руб, поэтому  имеем квадратное уравнение.

р² + 190р + 9000 = 11000;

р² + 190р - 2000 = 0 
, решим это квадратное уравнение, испрльзуя теорему Виетта, p₁ = 10, p₂ = -200.

Отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10%.

Пример 19. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

Решение.

Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов:

x(1+0,1)² = 1,21x.

Из условия  задачи:

1,21х = 48400;

х = 40000.

Ответ: 40000 руб.

Введение.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем  Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент  – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое  в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике  «Математика, 5»,авторов  Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %.[1] Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь  делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического  приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах  вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев  школьные учебники по математике, по которым  обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в  которых упоминается слово «процент», всего три.[2] В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н  задач на проценты и процентную концентрацию черыре.[3] Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в  2003, 2004, 2005 годах.[4] Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту  тему по сборникам для поступающих  в вузы[5], я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных  учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач  на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными  дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.

Задачи исследования:1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. 2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. 4) Выявить практическое применение таких задач.5). Определить план дальнейшей работы над темой.

Практическая значимость работы.  Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты».

В данной главе  приводятся  примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить  дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе. 

Обращаем  внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее.  Мы же  видим свою  задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что  в настоящее время редкий тест   по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых     не упоминались бы проценты.   

1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть  метра - это сантиметр, сотая часть  рубля – копейка, сотая часть  центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством:                   1     %  =  0,01 * а 

5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение: 
1) 25% = 0,25; 
2) 120 ^. 0,25 = 30.

Ответ: 30.   

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь  

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от  другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.   

Пример.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение:                                - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану.   Запишем в процентах   =110%

Ответ: 110%

Пример. 

На сколько  процентов 10 больше 6?      2. На сколько процентов 6 меньше 10? 
             Решение: 
1. ((10 - 6)^.100%)/6 = 66 2/3 % 
2. ((10 - 6)^.100%)/10 = 40%

Ответ: 66 2/3 %,  40 %.

Пример.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:  1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

2)       = 85%     сплава составляет медь.