Задачи на "Проценты"

Но есть в  задачах на проценты одна серьёзная  засада! Многие в неё попадают, да…  Выглядит эта засада вполне невинно. Например, вот такая задачка.

«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»

Ну, как? Элементарно?

Если вы стремительно и радостно дали ответ  «40 рублей!», то вы попали в засаду…

Фокус в том, что проценты всегда считаются от чего-то.

Вот и считаем. На сколько рублей продавец взвинтил цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. Это понятно, да?

А теперь нам  надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.

Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50!) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки: 

45 – 6,75 = 38,25 рубля.

Вот так.

Как видите, засада заключается в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. И то, правда. Продавец откуда знает, сколько раз эта тетрадка дорожала-дешевела до него и сколько она стоила в самом начале…

Кстати, теперь вы можете подумать, зачем в задачке  про умного Васю написана последняя  фраза? Вот эта: «За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»? Вроде и так всё ясно… Э-э-э… Как сказать. Если этой фразы не будет, Вася вполне может посчитать за 100% свои начальные успехи. То есть две решённые задачки. А 16 задач – в восемь раз больше. Т.е. 800% ! Вася сможет вполне оправданно говорить о собственном поумнении аж на 700%!

А ещё можно  и 16 задач взять за 100%. И получить новый ответ. Тоже правильный…

Отсюда вывод: самое главное в задачах на проценты – чётко определить, от чего надо считать тот или иной процент.

Это, кстати, и в жизни надо. Там, где проценты используются. В магазинах, банках, на акциях всяких. А то ждёшь 70% скидки, а получаешь 7%. И не скидки, а удорожания… И всё честно, сам просчитался.

Решите пару простых задач на проценты. Для  закрепления, так сказать.

«В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?»

Подсказка. Если у вас получаются дробные ученики  – это неправильно.  Читайте внимательно задачу, есть там одно важное слово…  Ещё задачка:

«Вася (да-да, тот самый!) очень любит пончики с повидлом. Которые пекут в булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по 15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал в булочную на автобусе за 13 рублей.  А в булочной шла акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»

Ответы: 2 и 4. А  где пончики, где ученики –  это вы сами…

Ну вот, представление  о процентах в математике вы получили. Отметим самое важное.

Практические советы:

1. В задачах  на проценты – переходим от  процентов к конкретным величинам.  Или, если надо – от конкретных  величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно  изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Задачи на проценты. 

Нахождение процентов  от числа  связано с нахождением дроби от числа. Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби, поэтому  начинать раскрывать смысл понятия процентов следует с осмысливания понятия обыкновенной дроби.

Возьмем несколько  обыкновенных дробей, например, . Какой смысл вкладывается в каждую такую запись? 
- Это примеры правильных обыкновенных дробей. Знаменвтель каджой из них показывает на сколько равных частей нужно разделить некий реальный или абстрактный объект, числитель показывает сколько таких частей нужно взять. Возьмем в качестве примера какую-нибудь правильную дробь. Например . Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.

В качестве реального  объекта можно взять, например, прямоугольник.

- это выражение представляет собой частное чисел a и b, где b не равно 0.

- это отношение чисел a и b, где  b не равно 0.

- это обыкновенная дробь. a – числитель, b – знаменатель (b не равно  0).

Пример 1.  Емкость бочки 200 л. бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение? 
- эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно, 
200:5 = 40, 
40 2 =8 0. 
В бочку налили 80 литров воды. 
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа. 

Чтобы найти  дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. 

Понятие процента  определяют так: 1% от числа это сотая часть числа,     т. е. 1% = 0,01.

Тогда смысл  предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.

Пример 2. У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала. Какой смысл заключен в этом высказывании? 
Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб., следовательно, 
400 : 100 =4, 
4 24 = 96. 
Маша израсходовала 96 рублей. 
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.

Пример 3. Нужно найти р% от числа b. 
Пусть x – число, которое нам нужно найти. 
p% = 0,01 p, 
x=b 0,01 p

Чтобы найти  проценты от числа, нужно число процентов  представить в виде десятичной дроби  и данное число умножить на эту  десятичную дробь.

Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби.

b  -   100%, 
x   -    р%, 
Имеем пропорцию: 
b : 100 = x : р,    (b относится к 100 как x относится к p) откуда,

Пример 4. Пусть имеются числа a и b, причем, a < b. Тогда число b больше числа  a   на   %.

Пример 5.  Тракторист вспахал 6 га, что составляет от всего поля. Чему равна площадь всего поля. 
Это типичная задача нахождения числа по его дроби.  Пусть площадь всего поля равна x, тогда имеем уравнение x = 6. Откуда x = 6 : ;   x = 26. Площадь поля равна 26 га.

Чтобы найти  число по его дроби, нужно число  соответствующее данной дроби разделить  на дробь.

Пример 6. Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.

p% = 0,01 p 
b = 0,01 p a 
a = b : (0,01p)

Дано число  b, которое составляет p% от числа a.

Найти число  а. 

a   -   100%

b  -    p%

a : 100 = b : p

    
 

Формула сложных  процентов.

Если на вклад  положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит   денежных единиц, или  
a(1+0,01p)ⁿ денежных единиц.

Пример 7. Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?

Решение.

За работу заплатили:

35% = 0,35

0,35 9800 = 3430.

Следовательно, материалы стоили: 9800 — 3430 = 6370.

Ответ: 6370 руб.

Пример 8. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

Решение.

Если незаполненная  часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% — 6,5% = 93,5%. Тогда, если х — масса  бензина, который осталось долить в  цистерну, то имеем пропорцию

х        -      6,5%

37,4   -       93,5%,

откуда .

Ответ: 2,6 т.

Пример 9. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

Решение.

25%=0,25,

45%=0,45.

Пусть х —  искомое число. Имеем

0,25x = 0,45 640.

x = 1152.

Ответ: 1152.

Пример 10. Число а составляет 92% от числа b. Если число b увеличить на 700, то новое число будет на 9% больше числа a. Найти числа a и b.

Решение.

92%=0б92,

9%=0,09.

Из условия задачи имеем систему уравнений:

Решая полученную систему, находим, а = 230000, b = 250000.

Ответ: 230000; 250000.

Пример 11. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

Решение.

Обозначим второе число через х, тогда первое число  равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько  процентов составляет число х  от числа 0,5x; составим пропорцию:

0,5х    -    100%,

х         -     р%,

из которой  находим

Ответ: 200%.

Пример 12. В лицее 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 6,4%. Сколько учащихся отчислено?

Решение.

До отчисления количество неуспевающих до отчисления соляло

0,1 260 = 26.

Пусть отчислили  х человек. Тогда всего в лицее  осталось 260 — х учащихся, из них  неуспевающих стало 26 - х. Имеем пропорцию

260 – x       -    100%,

26 - x              6,4%.

(260 – x)0,064=(26 - x)100,

Решая полученное уравнение, находим х = 10.

Ответ: 10.

Пример 13. На сколько процентов число 250 превышает число 200?

Решение.

Выполним два  действия.

1) Выясняем, сколько  процентов составляет число 250 т от числа 200:

200   -    100%

250   -     х%

2) Так как  число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.

Ответ: 25%.

Пример 14. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?

Решение.

1) Выясняем, сколько  процентов составляет число 200 от числа 250 (в отличие от  предыдущего примера, здесь за 100% нужно принимать число 250!):