Тихоновские пространства

Следующие ниже две леммы выясняют связь между некоторыми семействами подмножеств и некоторыми вещественными функциями.

Лемма 3. Пусть для каждого элемента t некоторого всюду плотного подмножества D множества положительных чисел задано некоторое подмножество множества Х такое, что:

(а) если t<s, то ;

(б) .

Для каждого х из Х положим f(x)=inf{t: }. Тогда и для каждого вещественного числа s.

Лемма 4. Пусть для каждого элемента t некоторого всюду плотного подмножества D множества положительных вещественных чисел задано открытое подмножество топологического пространства Х такое, что выполняются условия:

(а) если t<s, то замыкание множества содержится в множестве ;

(б) .

Тогда функция f, определенная формулой , непрерывна.

На основании вышесказанного можно доказать следующую лемму:

Лемма 5 (Урысон). Для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств А и В нормального пространства Х существует непрерывная функция f на Х со значениями в интервале [0,1], равная нулю на А и единице на В.

Доказательство.

Пусть D – множество положительных двоично-рациональных чисел (т.е. множество чисел вида , где p и q – положительные целые числа). Пусть ; при t>1 положим F(t)=X, пусть F(1)=X\B (случай t=1) и F(0) – любое открытое множество, содержащее A, замыкание которого не пересекается с В. Если и 0<t<1, то запишем t в виде и выберем, применяя индукцию по п, в качестве F(t) какое-нибудь открытое множество, содержащее множество и такое, что . Сделать это можно в силу нормальности пространства Х. Положим . По лемме 4 f – непрерывная функция. Она равна нулю на А, т.к. при каждом t из D, и равна единице на В, т.к. при и при . Лемма доказана.

На основании леммы Урысона можем дать еще одно определение тихоновского пространства:

Тихоновским является каждое нормальное -пространство.

4.           Теорема о вложении

Отрезок [0,1] является тихоновским пространством. Действительно, для любого х[0,1] множество {x} – замкнутое множество, и [0,1] является вполне регулярным пространством: для любого х и для любой окрестности U точки х такой, что существует непрерывная функция f со значениями в [0,1], равная 0 в точке х и тождественно равная 1 на множестве [0,1]\U(x).

Рассмотрим такую функцию. На прямой окрестностью точки является интервал с центром в этой точке. Т.е. окрестностью точки х будет интервал U(x)=(а,b) [0,1], тогда х=(a+b)\2. В качестве функции f возьмем такую

f: [0,1] [0,1], что , где (a,b) – окрестность точки х, y.

При f(y)=0, при f(y), при f(y)=1.

Для любого x такая функция существует. Значит, [0,1] является тихоновским пространством.

Теорема 3.1. Произведение тихоновских пространств является тихоновским пространством.

Доказательство.

Условимся для удобства говорить, что непрерывное отображение f топологического пространства Х в замкнутый единичный интервал соответствует паре (x, U), когда х – точка, U – ее окрестность, f(x)=0 и функция f тождественно равна единице на множестве Х\U. Пусть функции соответствуют парам , где п – положительное целое число, и для любого у; тогда функция g соответствует паре . Следовательно, пространство вполне регулярно, если для каждой точки х и каждой ее окрестности U из некоторой фиксированной предбазы топологии надеется функция, соответствующая паре (x,U). Пусть Х - пространство произведения тихоновских пространств, х – любая его точка, а - произвольная окрестность точки в . Пусть функция f соответствует паре , тогда функция , где - проектирование на а-е координатное пространство, соответствует паре . Семейство множеств вида образует предбазу топологии произведения. Следовательно, пространство произведения вполне регулярно. Т.к. произведение -пространств является -пространством, то теорема доказана.

Теорема о вложении 3.2(Тихонов):

Для того чтобы топологическое пространство было тихоновским необходимо и достаточно, чтобы оно было гомеоморфно подпространству некоторого куба.

Доказательство.

Докажем, что если топологическое пространство Х является тихоновским, то оно гомеоморфно подпространству некоторого куба.

Куб – это произведение замкнутых единичных интервалов. А единичный интервал является тихоновским пространством. По теореме 3.1. (произведение тихоновских пространств является тихоновским пространством) куб – тихоновское пространство. Значит, любое подпространство куба также тихоновское пространство.

Если Х - тихоновское пространство и F – семейство всех непрерывных отображений пространства Х в замкнутый единичный интервал Q, то (по лемме о вложении) соответствующее отображение вычисления является гомеоморфизмом пространства Х в куб : отображение вычисления является взаимнооднозначным отображением, т.к. различает точки; отображение вычисления является непрерывным отображением пространства Х в куб (пространство произведения замкнутых единичных интервалов); отображение, обратное к отображению вычисления является также непрерывным отображением.

Докажем, что если подпространство куба гомеоморфно некоторому топологическому пространству Х, то Х является тихоновским пространством.

Куб – тихоновское пространство. Значит, любое его подпространство также является тихоновским. Если тихоновское пространство гомеоморфно некоторому топологическому пространству, то это топологическое пространство также будет являться тихоновским, т.к. гомеоморфизм сохраняет все свойства (топологические инварианты). Значит, Х – тихоновское пространство (вполне регулярное -пространство).

Теорема доказана.

Заключение

В работе мы дали основные определения, необходимые для работы, затем распространили понятие топологического произведения на любое число сомножителей. На основе этого было введено понятие куба, как декартова произведения замкнутых единичных интервалов, наделенное топологией произведения.

Нами приведено доказательство теоремы, которая утверждает, что тихоновское пространство гомеоморфно подпространству куба. При этом тихоновским называется -пространство Х, являющееся вполне регулярным, т.е. если любую его точку х можно функционально отделить от не содержащего ее замкнутого множества F , т.е. если существует такая непрерывная функция , что f(x)=0 и f(F)=1. Всякое нормальное пространство вполне регулярно, поскольку из теоремы Урысона о продолжении вытекает, что в нормальном пространстве функционально отделимы любые непересекающиеся замкнутые множества. Т.к. подпространство вполне регулярного пространства вполне регулярно, то теорема Тихонова дает полное описание вполне регулярных пространств как подмножеств тихоновских кубов.

Библиографический список.

1.                   Архангельский, А. В. Бикомпактные множества и топология пространств [Текст] / А.В. Архангельский. – Труды Моск. Матем. О-ва 13, 1965. – С. 3-55.

2.                   Келдыш, Л. В. Монотонные отображения куба на куб большей размерности [Текст] / Л.В. Келдыш. – Матем. Сб. 41, 1957. – С. 129-158.

3.                   Келли, Дж.Л. Общая топология [Текст] /Дж. Келли. – М.: Изд-во «Наука», 1968. – 384 с.

4.                   Куратовский, К. Топология [Текст] / К. Куратовский. – М.: «Мир». – 1966. – С. 125-131.

5.                   Локуциевский, О. В. Об одной проблеме П.С. Урысона [Текст] / О.В. Локуциевский. – ДАН СССР 151, №4 1963. – С. 775-777.

6.                   Рубанов, И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута [Текст] / И.С. Рубанов. – Киров, 1990. – 40с.

7.                   Смирнов, Ю.М. К теории вполне регулярных пространств [Текст] / Ю.М. Смирнов. – ДАН СССР 62, 1948. – С. 749-752.

8.                   Пасынков, Б.А., Федорчук, В.В. Топология и теория размерности [Текст] / Б.А. Пасынков, В.В. Федорчук \\Математика. Кибернетика. – 1984. – №9. – С. 44-52.

2