Тихоновские пространства

Пусть Х и Y – топологические пространства и β – семейство всех декартовых произведений вида UV, где U – множество, открытое в Х, и V – множество, открытое в Y. Пересечение двух элементов из β есть снова элемент из β, т.к. (U V)(R S)=(U R) (VS). Следовательно, по теореме 1.1. β – база некоторой топологии на множестве XY. Эта топология называется топологией произведения на XY. Подмножество W множества XY открыто в топологии произведения, если для каждого элемента (х, y)W можно найти открытые окрестности U и V точек х и y соответственно такие, что UVW. Пространства Х и Y называются координатными пространствами, а отображения и , первое из которых переводит точку (х, у)ХY в х, а второе – в у, называются проектированиями на координатные пространства. Эти проектирования являются непрерывными отображениями, т.к. если U открыто в Х, то [U]=UY – множество, открытое в XY.

Распространим данное определение топологии произведения на декартовом произведении любого конечного числа координатных пространств.

Пусть - топологические пространства. Базу топологии произведения на декартовом произведении образует семейство всевозможных множеств вида , где - произвольное множество, открытое в .

Теперь определим топологию произведения на декартовом произведении произвольного семейства топологических пространств.

Предположим, что для каждого элемента а из какого-то множества индексов А задано некоторое множество . Декартово произведение определяется как множество всех таких функций х на А, что для каждого а из А. Множество называется а-м координатным множеством.

Проектирование произведения на а-е координатное множество определяется формулой . Предположим, что на каждом координатном множестве задана некоторая топология . Каждое проектирование должно быть непрерывным. Чтобы все проектирования были непрерывны, необходимо и достаточно, чтобы были открытыми все множества вида [U], где U – произвольное множество, открытое в . Семейство всех таких множеств образует предбазу некоторой топологии. Эта топология – наименьшая среди тех, относительно которых проектирования непрерывны. Это и есть топология произведения.

Элементы определенной нами предбазы имеют вид , где U может быть любым открытым подмножеством пространства . Интуитивно они ассоциируются с цилиндрами над открытыми подмножествами координатных пространств. Иногда говорят, что элементы рассматриваемой предбазы получаются «ограничением а-той координаты некоторым открытым подмножеством а-го координатного пространства». Базу топологии произведения образует семейство всевозможных конечных пересечений элементов указанной предбазы. Произвольный элемент U этой базы имеет вид для каждого а из F}, где F – конечное подмножество множества А из - открытое подмножество пространства для каждого а из F. Речь идет о конечных пересечениях (пересечениях конечного числа множеств). Не верно, что множество вида открыто в топологии произведения, если каждое открыто в Х. Пространство произведения, или произведение пространств, - это декартово произведение этих пространств, наделенное топологией произведения.

2.            Проектирование пространства произведения

Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется открытым, если образ каждого открытого множества открыт, т.е. если множество U открыто в пространстве Х, то множество f[U] открыто в пространстве Y.

Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространство Y называется замкнутым, если образ каждого замкнутого множества замкнут, т.е. если из множество U замкнуто в пространстве Х, то множество f[U] замкнуто в пространстве Y.

Теорема 2.1. Проектирование пространства произведения на произвольное его координатное пространство открыто.

Теорема 2.2. Отображение f топологического пространства в пространство произведения непрерывно в том и только в том случае, когда непрерывна каждая из композиций , где аА.

Сходимость в пространстве произведения можно описать в терминах проекций.

Определение 8. Бинарное отношение , заданное на множестве D, называется направлением на нем, если D не пусто, и

(а) если m, n и p – такие элементы множества D, что mn и np, то mp;

(б) если mD, то m m;

(в) если m, nD, то существует рD, для которого рm pn.

Направленное множество – это пара (D,), где – направление на множестве D. Направленностью называется пара (S,), где S – функция и – направление на ее области определения.

Направленность (S,) сходится в топологическом пространстве (X, τ) к точке s относительно топологии , когда она с некоторого момента находится в произвольной -окрестности точки s.

Теорема 2.3. Направленность S в пространстве произведения сходится к точке s тогда и только тогда, когда ее проекция в произвольное координатное пространство сходится к проекции точки s.

Доказательство.

Т.к. проектирование на произвольное координатное пространство непрерывно, то из сходимости направленности в произведении к точке s следует, что направленность { сходится к .

Пусть - такая направленность, что { сходится к для каждого а из А. Тогда для любого направленность { находится с некоторого момента в множестве и, значит, направленность находится с того же момента в множестве . Но тогда направленность должна находиться с некоторого момента в любом конечном пересечении множеств вида . Т.к. семейство всевозможных таких конечных пересечений образует базу топологии произведения в точке s, то направленность сходится к точке s. Что и требовалось доказать.

Сходимость относительно топологии произведения называется покоординатной, или поточечной, сходимостью. Термин «поточечная сходимость» употребляется, когда все координатные пространства идентичны. В этом случае декартово произведение есть просто множество всех функций, определенных на А, со значениями в Х, и обозначается через . Направленность множестве сходится к функции f в топологии поточечной сходимости, когда направленность сходится к f(a) при каждом а из А. Топологию произведения называют в этом случае топологией простой сходимости.

§3. Вложение в кубы. Тихоновские пространства

1.           Лемма о вложении

Кубом называется декартово произведение замкнутых единичных интервалов, наделенное топологией произведения. Куб, таким образом, – это множество всех функций, определенных на некотором множестве А со значениями в замкнутом единичном интервале Q, наделенное топологией поточечной, или покоординатной, сходимости.

Далее будем описывать топологические пространства, гомеоморфные подпространствам кубов.

Пусть F – некоторое семейство отображений, определенных на одном и том же топологическом пространстве Х со значениями в разных пространствах (пространство значений отображения fF будет обозначаться через ). Тогда имеет место естественное отображение пространства Х в произведение – точка переходит при этом отображении в элемент произведения, f-я координата которого равна f(x). Формально отображение вычисления определяется так: . Отображение е непрерывно, если непрерывны отображения из F, и е является гомеоморфизмом, если семейство F содержит «достаточно отображений».

Говорят, что семейство F отображений множества Х различает точки, если для каждой пары различных точек х и у найдется такой элемент , что . Семейство F различает точки и замкнутые множества, если для каждого замкнутого подмножества А пространства Х и каждой точки х из Х\А существует такое отображение , что f(x) не принадлежит замыканию множества f[A].

Лемма 1(о вложении). Пусть F – семейство, произвольный элемент которого f есть непрерывное отображение топологического пространства Х в некоторое топологическое пространство . Тогда:

(а) Отображение вычисления является непрерывным отображением пространства Х в пространство произведения .

(б) Если семейство F различает точки и замкнутые множества, то отображение е является открытым отображением пространства Х на пространство e[X].

(в) Отображение е взаимно однозначно в том и только в том случае, когда семейство F различает точки.

Доказательство.

Последовательно выполняя отображение е и проектирование на f-е координатное пространство, мы получаем непрерывное отображение, ибо

. Следовательно, в силу теоремы 2.2 отображение е непрерывно.

Для доказательства утверждения (б) достаточно установить, что образ при е любой открытой окрестности U произвольной точки х содержит пересечение множества e[X] с некоторой окрестностью точки у(х) в произведении. Выберем в F элемент f так, чтобы точка f(x) не входила в замыкание множества f[X\A]. Множество всех точек у произведения таких, что , открыто и, очевидно, его пересечение с множеством e[X] содержится в e[U]. Значит, е – открытое отображение пространства Х на пространство e[X].

Докажем утверждение (в). Если отображение е взаимно однозначно, то для любой пары различных точек х и у найдется такой элемент , что (). Что и означает, что семейство F различает точки.

Предположим, что семейство F различает точки, но отображение е не является взаимно однозначным. Это значит, существуют пары точек х и у таких, что если , то (f(x)=f(y)), или при (f(x)f(y)) (). Это противоречит тому, что семейство F различает точки. Значит, предположение неверно, а верно обратное, т.е. отображение е является взаимно однозначным.

Лемма доказана.

2.           Тихоновские пространства

Топологическое пространство называется регулярным, если для каждой его точки х и любой окрестности U этой точки существует замкнутая окрестность V точки х, содержащаяся U. Другими словами, семейство замкнутых окрестностей произвольной точки должно быть базой топологии в этой точке. Регулярное пространство, одновременно являющееся -пространством, называется -пространством.

Топологическое пространство называется вполне регулярным, если для каждой точки х и любой ее окрестности U на Х существует непрерывная функция f со значениями в замкнутом единичном интервале, равная нулю в точке х, тождественно равная единице на множестве X\U. Семейство всех непрерывных отображений вполне регулярного пространства в единичный интервал [0,1] различает точки и замкнутые множества в смысле предшествующей леммы.

Если вполне регулярное пространство удовлетворяет -аксиоме отделимости ({x} – замкнутое множество для любой точки х), то семейство всех его непрерывных отображений в отрезок [0,1] различает также и точки.

Тихоновским пространством называется вполне регулярное -пространство.

Существует второе определение тихоновского пространства:

Тихоновское пространство – это вполне регулярное -пространство.

Докажем, что эти два определения тихоновских пространств равносильны:

Пространство Х является вполне регулярным -пространством тогда и только тогда, когда оно является вполне регулярное -пространство.

Доказательство.

Пространство Х является вполне регулярным -пространством. Возьмем произвольные точки х и у () из Х и зафиксируем их. По аксиоме у этих точек существуют окрестности U и V такие, что точка у не принадлежит  окрестности U точки х, х не принадлежит окрестности V точки  у. Необходимо доказать, что существуют такие U и V, которые не пересекаются. Т.к. топологическое пространство является вполне регулярным, то существует непрерывная функция f: X R такая, что f(x)f(y), f(x)=0, f(y)=1. Рассмотрим окрестности U(x) и V(y) такие, что f(U(x))= и f(V(y))=. Возьмем пересечение f(U(x)) и f(V(y)) и получим, что = – пустое множество. Т.к. f – непрерывная функция, то и прообразы пересекаться не будут: =U(x)V(x) – пустое множество. Т.е. нашлись такие окрестности U и V точек х и у соответственно, которые не пересекаются.

Предположим, что существует точка такая, что для любой окрестности U точки х существует точка (), которая лежит в этой окрестности. Тогда любая окрестность V точки у пересекается с U(x). Это противоречит тому, что Х – вполне регулярное -пространство, т.е. существуют непересекающиеся окрестности точки х и точки у. Значит, предположение не верно, а верно обратное, т.е. Х – вполне регулярное -пространство. Что и требовалось доказать.

Пусть Х – тихоновское пространство и F семейство всех непрерывных вещественных функций на Х, значения которых заключены в отрезке [0,1]. Лемма 1 о вложении позволяет утверждать, что отображение вычисления пространства Х в куб является гомеоморфизмом. Таким образом, каждое тихоновское пространство гомеоморфно подпространству некоторого куба. Это свойство в действительности характеризует тихоновские пространства, как мы скоро увидим.

3.           Нормальные и тихоновские пространства

Пространство называется нормальным, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что и . -пространство – это нормальное -пространство. Если согласиться называть множество U окрестностью множества А, если А содержится во внутренности множества U, то определение нормальности можно переформулировать так: пространство нормально, если любые его непересекающиеся замкнутые подмножества обладают непересекающимися окрестностями.

Линделефовым называется топологическое пространство, из каждого открытого покрытия которого можно выбрать счетное подпокрытие.

Лемма 2 (Тихонов). Каждое регулярное линделефово пространство нормально.