Тихоновские пространства

Оглавление

Введение

§1. Основные определения

1.              Топология и топологические пространства

2. База и предбаза топологии

3. Отображения топологических пространств

4. Аксиомы отделимости

§2. Произведение пространств

1. Топология произведения

2. Проектирование пространства произведения

§3. Вложение в кубы. Тихоновские пространства

1. Лемма о вложении

2. Тихоновские пространства

3. Нормальные и тихоновские пространства

4. Теорема о вложении

Заключение

Библиографический список.

Введение

Топология (буквальная расшифровка – учение о положении), если говорить кратко, это геометрический раздел математики, изучающий непрерывность, точки непрерывного отображения.

Понятия непрерывности и предела тесно связаны между собой и восходят еще к античности. Однако строгое их определение и последующее изучение на твердой основе стали возможными лишь во второй половине XIX столетия.

Топологические пространства оказались той естественной средой существования непрерывных отображений, на базе которых возникла и развивается обширная ветвь топологии – общая топология. От других разделов топологии общая топология отличается как общностью рассматриваемых топологических пространств, так и чисто топологическими в основном способами их изучения.

Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в XYIII-XIX вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части). В начале XX в. создаётся общее понятие пространства в топологии (метрическое — М. Фреше, топологическое — Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти. Первая четверть XX в. завершается расцветом общей топологии и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П. С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П. С. Александров); строится теория компактных пространств (Александров, Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А. Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (Александров, Урысон); вводится (Александров) понятие локально конечного покрытия (на основе которого в 1944 году Ж. Дьёдонне (Франция) определил паракомпактные пространства); вводятся вполне регулярные пространства (Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий (Александров).

В данной работе будут рассматриваться топологические пространства, введенные советским математиком и геофизиком А. Н. Тихоновым, работы которого посвящены топологии и функциональному анализу, а также теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике и вычислительной математике.

В §2 работы мы определим произведение пространств: рассмотрим топологию произведения двух пространств и распространим на случай бесконечного числа топологических пространств, также рассмотрим понятие проектирования пространств. В §3 введем определение пространств, рассматриваемых Тихоновым, докажем соответствующую теорему. В первом же параграфе мы дадим все необходимые для работы основные определения.

§1. Основные определения

1.           Топология и топологические пространства

Определение 1. Пусть дано множество X. Семейство его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:

1)    все X и пустое множество принадлежат;

2)    объединение элементов любого подсемейства семейства τ принадлежит τ;

3)    пересечение любых двух элементов семейства τ является элементом семейства τ .

Множество X=всегда является элементом τ, т.к. само τ является своим подсемейством. Каждый элемент семейства τ является подмножеством множества Х. Множество Х называется пространством топологии τ, и τ есть топология на Х. Пара (Х, τ) называется топологическим пространством.

Элементы семейства τ называют открытыми множествами. Пространство Х топологии всегда открыто. Открыто всегда и пустое множество, т.к. оно является объединением элементов пустого подсемейства семейства τ.

Определение 1.1. Подмножество A топологического пространства (X, τ) называется замкнутым, если относительное дополнение X\A открыто.

Определение 1.2. Абсолютное дополнение множества А есть {x: x A};обозначается оно через \А.

Относительное дополнение множества А по отношению к множеству Х есть множество Х\А, обозначаемое через Х\А. Множество Х\А называется также разностью Х и А.

Определение 2. Окрестностью (τ-окрестностью) точки х называется подмножество U топологического пространства (Х, τ), в котором лежит открытое множество, содержащее х. Окрестность точки не обязана быть открытым множеством, но каждое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.

2.      База и предбаза топологии

Определение 3. Базой топологии называется семейство множеств, содержащихся в τ, и для каждой точки х пространства и любой ее окрестности U существует множество V из β такое, что хVU.

Характеристика базы, которая часто принимается за определение: подсемейство топологии образует базу этой топологии, когда каждый элемент из является объединением элементов из .

Теорема 1.1. Семейство β множеств является базой некоторой топологии на множестве Х={B: Bβ} в том и только в том случае, когда для любых двух элементов U и V этого семейства и каждой точки х из UV существует такой элемент W в β, что хW и WUV.

Не каждое семейство множеств может служить базой какой-нибудь топологии. Например, пусть множество Х состоит из чисел 0, 1 и 2, множество В состоит из чисел 0 и 1 и А состоит из 1 и 2. Семейство ς, состоящее из Х, А, В и пустого множества, не может служить базой никакой топологии. В самом деле объединение каких-либо элементов семейства ς непременно является элементом ς; таким образом, если бы семейство ς служило базой какой-нибудь топологии, то эта топология должна была бы совпадать с ς, но ς не является топологией, так как АВς. Но по произвольному семейству ς множеств можно естественно и однозначно определить некоторую топологию. Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющемся объединением всех элементов семейства ς; каждый элемент семейства ς должен быть открыт в этой топологии, т.е. ς должно быть подсемейством искомой топологии.

Теорема 1.2. Пусть ς – произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных пересечений элементов из ς образует базу некоторой топологии на множестве Х={S: S ς }.

Семейство ς множеств называется предбазой топологии τ, если семейство всевозможных конечных пересечений элементов ς образует базу топологии τ (или, что то же самое, если каждый элемент из τ является объединением конечных пересечений элементов семейства ς).

3.      Отображения топологических пространств

Пусть задано отображение f: XY, где X и Y - топологические пространства с топологиями соответственно и .

Определение 4. Отображение f топологического пространства (X, τ) в топологическое пространство (Y, ν) является непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт.

Определение 5. Отображение f топологического пространства Х в топологическое пространствоY называется непрерывным в точке хХ, если прообраз каждой окрестности точки f(x) при отображении f является окрестностью точки х.

Определение 6. Отображение, непрерывное в каждой точке x множества X, называется непрерывным на X.

Непрерывные отображения характеризуются следующим свойством.

Теорема 1.4. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества пространства Y его прообраз U =  принадлежит , т.е. является открытым множеством топологического пространства X

Доказательство.

Пусть f непрерывно, т.е. удовлетворяет определению 6. Выберем открытое множество V в Y. Поскольку V - окрестность каждой своей точки y=f(x), , то, по определению 4, каждое x имеет окрестность U(x) такую, что f(U(x)). Из последнего включения, в частности, следует, что , т.к., по определению, U есть множество всех точек x из X, таких, что . Действительно, т.к. каждое x принадлежит своему U(x), которое содержит все x, т.е. включает в себя U. Кроме того, т.к. все U(x) содержатся в U, то и их объединение содержится в U. Из двух включений и следует равенство. Таким образом, U есть объединение открытых множеств U(x), т.е. оно само открыто по свойству 2) топологии.

Теперь пусть для любого открытого множества V топологического пространства Y (т.е. ) множество открыто в X (т.е. принадлежит ). Покажем, что выполнено определение 4 в каждой точке . Выберем произвольную окрестность V точки f(x) в Y. Это открытое множество, и поэтому открыто в X и при этом по построению . Итак, для любой окрестности V(f(x)) существует окрестность U(x), такая, что f(U(x))V(f(x)), т.е. выполнено определение 4. Теорема доказана.

Эта теорема дает критерий непрерывности отображений топологических пространств.

Также она позволяет строить новые топологии следующим образом. Пусть задан некоторый класс отображений F (обозначим этот класс через {F}) из множества X в числовую прямую R (или в любое другое топологическое пространство - в этом случае конструкция аналогична). Зададим набор подмножеств в X, включив туда множества вида для всех открытых множеств V в R и для всех отображений F из {F}, все их объединения и конечные пересечения, а также все X и пустое множество. Полученный набор будет топологией. При этом по теореме из построения следует, что все отображения из {F} будут непрерывными. Подобные топологии часто используются и оказываются весьма полезными.

Определение 7. Отображение f из топологического пространства X в топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия:

1)      f непрерывно;

2)      f взаимно однозначно (т.е. для любого существует , такое, что f(x)=y, и указанное x единственно; в частности, существует обратное отображение);

3)      обратное отображение – – непрерывно.

Два пространства гомеоморфны, если существует гомеоморфизм одного пространства на другое. Тождественное отображение топологического пространства на себя всегда является гомеоморфизмом, и обратное к гомеоморфизму отображение тоже является гомеоморфизмом.

4.      Аксиомы отделимости

Каждое топологическое пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой.

Известны пять основных аксиом отделимости, из которых приведем три простейшие.

Аксиома (аксиома Колмогорова). Для любых двух не совпадающих точек хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома . Существует две формулировки аксиомы :

1.     Для любой точки хХ множество {x} является замкнутым множеством.

2.     Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Докажем, что эти формулировки равносильны, т.е. для любой точки х  из Х множество {x} – замкнутое множество, тогда и только тогда, когда для любых двух не совпадающих точек из Х каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Доказательство.

Пусть для любой точки множество {x} – замкнутое. Тогда, по определению 1.1, – открытое множество. Зафиксировали произвольные точки х и у, причем и . Т.к. , то . Значит, в существует окрестность V точки у такая, что .

Пусть для любых двух не совпадающих точек х и у каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку. Предположим, что существует точка такая, что {x} – открытое множество. Тогда, по определению 1.1, - замкнутое множество. Любая точка у, не равная х, будет принадлежать . Возьмем произвольную окрестность U точки х и зафиксируем ее. По определению 2 U содержит множество {x} (открытое), и в U есть элементы, принадлежащие, т.е. существует точка у () такая, что для любой окрестности U точки х точка у принадлежит U. Получили, что существуют точки х и у () такие, что для любой окрестности точки х точка у принадлежит этой окрестности. Это противоречит условию, что для любых двух несовпадающих точек каждая из них имеет окрестность, не содержащую другую точку. Значит, предположение, что существует точка х, такая, что {x} – открытое множество не верно, а верно обратное, т.е. для любой точки х из Х множество {x} является замкнутым множеством. Что и требовалось доказать.

Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее аксиоме , удовлетворяет и аксиоме , а не удовлетворяющее аксиоме , не удовлетворяет и аксиоме .

Аксиома (аксиома Хаусдорфа). Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.

Понятно, что из выполнения аксиомы следует выполнение аксиомы , и, значит, если не выполняется аксиома, то не выполняется и аксиома .

§2. Произведение пространств

1.            Топология произведения