Табличные производные

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;

а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,

По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)

Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;

             n2 = kr/R;       

             n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;

             m = k/n = 36/4 = 9;

при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна  кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью  кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = F

P – импульс системы платформа-песок, F – сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t:

p = (M+(t+t))(u+u) – (M+t)u =Ft

где u – скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

p = ut + Mu+ut+ ut =Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

Mdu/dt+tdu/dt+u=F

или

d[(M+t)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:

(M+t)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+t)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+t)-Ft)/(M+t)2 = FM / (M+t)2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

p = (M-(t+t))(u+u) +tu – (M-t)u = Ft

Слагаемое tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t

Тогда:

p = Mu - tu - tu = Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

(M-t)du/dt = F

или

a1=du/dt= F/(M-t)

Ответ: a = FM / (M+t)2 , a1= F/(M-t)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.      М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.

2.      М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.

3.      P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.

4.      P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.

5.      Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.

6.      М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

7.      С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.

8.      В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

9.      Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.

10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.

2