Табличные производные

Правила дифференцирования

Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))’ = c * (f(x))’;

(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);

(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);

(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только

положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные  значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ,

и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (a<a1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ≤ х ≤ b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не поло­жительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ≥ 0                            (или f '(x) ≤ 0)

2) в этом промежутке не существует отрезка a1 ≤ x ≤ b1 (а<а1<b1<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх2 — 2х — 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x + 4/3 отрицателен при х < - 4/3 и положителен при х > - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) — ∞ <x<-4/3, 2) -4/3<x<2, 3)2<x< + ∞.

Чтобы определить знак производной  в  каждом из промежутков, составим таблицу:

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

- ∞ <x < -4/3 и 2 <x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х3 (черт.) имеет производную у = 3х2, которая  положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х3 возрастает в промежутке — ∞<x<+∞; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х3 = 0, а при х < 0  х3 < 0 и при х > 0 х3 > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х2

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.

Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

y' = 60 - 4x.

y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)

2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:

0<x<+∞

Определим промежутки ее возрастания и убы­вания:

y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.

Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке

0<x<6   y'<0, а в промежутке 6<x<+∞  y'>0.

Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+∞. График (черт.) построим по таблице:

Следовательно, периметр прямоугольника имеет  наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х2 (черт. 111), или только минимум, например   функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y = ax не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1М1 и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c2m1, и c4m2, минимум c4m2 больше максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

Признаки существования экстремума

1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δ точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0< Δx < δ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c + Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с -/+ Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f(c- Δx)<f(c) и f(c + Δx)<f(c).