Табличные производные

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t3 — 2) м.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение  а = d2s/dt2.

Дифференцируя функцию s=t3 — 2, находим d2s/dt2 =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек2.

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому

f(t) = m*d2s/dt2.

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(ωt + ω0).

Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим  вторую производную функции:

s = А*sin(ωt + ω0), ds/dt = А*cos(ωt+ω0)* ω,

d2s/dt2=— А*sin (ωt + ω0)* ω2 = — s*ω2 = — ω2s; f(t) = — mω2s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Сравнение бесконечно малых

1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;

значения β =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.

Отношение β/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.

значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,—величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.

2°. Определения:  1) β называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем α, если предел отношения β/α равен нулю, т. е. если

limβ/α =0;

2) β называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем α, если

limβ/α = ∞;

3) β и α называются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если

limβ/α = k, где k ≠ 0 и k ≠ ∞

4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.

3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0, β высшего порядка малости, чем α, a limα/β = ∞ и α низшего порядка, чем β.

2. α =1—х и β=1— x2 —бесконечно малые, если х→1. Отношение β/α=(1- x2)/(1-x) = 1+x.

Значит, 1—х и 1—x2 —бесконечно малые одинакового порядка малости при х→1.

3. Сравним 1 —cosx  с  х при x→ 0.

т. е. 1—cos x при х → 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х.

Дифференциал функции

1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.

(I)

2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy=f '(х)* ∆х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ∆x.

f '(x) = (x2)' =2x.

Поэтому

dy=2x*∆x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.

3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ∆MPT следует, что

PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).

Но по определению f '(х) *∆x = dy, поэтому PT = dy.

Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.

4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ∆y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.

5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆x2 = 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *∆x  = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ∆у—dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:

(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.

Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела f '(x) на бесконечно малую α, причем α → 0 при стремлении ∆x к нулю,

∆y/∆x — f '(x)= α.

Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или (∆у - dy) ∆x= α,

7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.

8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:

1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');

2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.

Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:

1) z=k∆x и 2) то z есть дифференциал функции у.

Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е.                                                                             k = y',

а следовательно,

z = k∆x = y’∆x,

т. е. z есть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов

1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:

                                                                    dx = ∆х                                                     (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.

Но так как

dy = dx, то dx = ∆x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

      2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:

                                                                                                                                                   (III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f 'u (x)* ∆u.

Но

f 'u (x)= f’x (x)* x’u

Значит,

dy = f’(x)—x'u * ∆u.

Но так как, по определению,

x'u ∆u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

                               у = √ (e2x—1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у':                      

y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1).

Значит                                                                     

dy = e2x*dx/ √ (e2x—1)

5°. Из формулы (III) следует;

f’(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)

для произвольного значения dx = MP.

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям

1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x

(IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как ∆у = f(х + ∆x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) - f(x) ≈ f '(x)* ∆x

(V)

В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.

      Найти:

                   а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;

                   б) выяснить устойчиво ли это положение;

                   в) Fmax значение силы притяжения;

                   г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

U = a/r2 – b/r;                 Решение:

a и b — counts;                Для определения r0 соответствующего равновесному

r0 — ?                              положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Fmax — ?                              Используя связь между потенциальной энергией поля

                              U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;

при этом r = r0;  2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3— b/r2;

dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;

при r = r1 = 3a/b;

подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;

U(r) = 0;       при r = a/b;       U(r)min при r = 2, a/b = r0;

F = 0;          F(r)max при r = r1 = 3a/b;

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

R1 = 9 R2                                                                                    Решение:

   При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R1, R2, R3                            сопротивление по формуле:

                                          1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;

Rэкв max— ?                                 выражу R3 через R2:

                                          R3 = R— R1—R2=R—10R2;

    тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:

(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);

В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом

R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;

Rэкв max = 9R/169;

Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + αH), где α = const (черт.).

Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).

Производная H’(t) = νн – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

Ei = - B0Sα( - νн).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн = - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei = B0Sαν.

   По кольцу протекает индукционный ток

J = Ei /R = B0Sαν/R.

В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется количество теплоты

Q = J2RΔt.

На высоте H1 кольцо обладает механической энергией

W1 = mgH1 + mν2/2,

на высоте H2

W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2

(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W1 = W2 + Q  => mgH1 = mgH2 + J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν/R)2RΔt =>

          mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2Δt/R                                                           (*)

Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = νΔt, и уравнение (*) примет вид:

mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>

ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.

Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС  E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).