Шпаргалка по "Математике"

Общеутвердительное суждение — это суждение, общее по коли­честву и утвердительное по качеству. Общеотрицательное суждение — суждение, общее по количе­ству и отрицательное по качеству. Частноутвердительное суждение — суждение, частное по коли­честву и утвердительное по качеству. Частноотрцательное суждение — суждение, частное по количе­ству и отрицательное по качеству.

В логике принято сокращенное обозначение суждений по их объединенной классификации.

Cуждения обозначаются следующими буквами: А — общеутвердительное, Е — общеотрицательное, I — Частноутвердительное, О — частно-отрицательное.

На языке логики предикатов суждения А, Е, I, О записывают следующим образом:

А (Все S суть Р): V х (S(х) -> Р(х))

читается: для всех х, если х присуще свойство S, то х присуще свойство Р.

Е (Ни одно S не есть Р): V х (S(х) -> -1 Р(х))

читается: ни одному х, которому присуще свойство S, не присуще свойство Р.

I (Некоторые S суть Р): 3 х(S(х) а Р(х))

читается: существуют х, которым присуще свойство S и свой­ство Р.

О (Некоторые S не суть Р): 3 х(S(х) л -1 Р(х))

читается: существуют х, которым присуще свойство S и не прису­ще свойство Р.

В – 14

Выделяющие и исключающие суждения

Особое место в классификации суждений занимают 1) выделяю­щие и 2) исключающие суждения.

Выделяющие суждения они от­ражают тот факт, что признак, выраженный предикатом, принадле­жит (или не принадлежит) только данному, и никакому другому, предмету.

«Некоторые города — столицы государств» — пример частного выделяющего суждения (некоторые 8, и только S, суть Р). Столица­ми государств могут быть только города, и притом только некоторая их часть. Предикат частного выделяющего суждения полностью вхо­дит в объем субъекта.

Частные выделяющие суждения не следует смешивать с опреде­ленными частными суждениями. Если в определенном частном суж­дении уточняется объем субъекта, то в частных выделяющих сужде­ниях уточняется объем предиката.

«Все преступления, и только преступления, — предусмотренные законом общественно опасные деяния» — пример общего выделяю­щего суждения (Все S, и только S, суть Р). Объемы субъекта и предиката общего выделяющего суждения полностью совпадают.

Слова «только», «лишь», входящие в состав предложений, выра­жающих выделяющие суждения, могут находиться как перед субъ­ектом, так и перед предикатом. Но они могут и вообще отсутствовать. В этих случаях установить, что данное суждение яв­ляется выделяющим, помогает логический анализ.

Исключающим называется суждение, в котором отражается принадлежность (или непринадлежность) признака всем предме­там, за исключением некоторой их части. Например: «Все студенты нашей группы, кроме Волкова, сдали экзамены». Исключающие суждения выражаются предложениями со словами «кроме», «за ис­ключением», «помимо», «не считая» и т.п. (Все S, за исключением S1, суть Р).

Значение выделяющих и исключающих суждений состоит в том, что положения, выраженные в форме этих суждений, характери­зуются точностью и определенностью, что исключает их неодно­значное понимание. Именно поэтому ряд научных положений, а также статей международных документов, законов государства вы­ражен в форме выделяющих или исключающих суждений.

В – 15

Распредеденность терминов в суждениях

В логических операциях с суждениями возникает необходимость установить, распределены или не распределены его термины — субъект и предикат. Термин считается распределенным, если он взят в полном объеме. Термин считается нераспределенным, если он взят в части объема.

Рассмотрим, как распределены термины в суждениях А, Е, I, О.

Суждение А (Все S суть Р). «Все студенты нашей группы (S) сдали экзамены (Р)». Субъект распределен, он взят в полном объеме: речь идет обо всех студентах нашей группы. Предикат этого суждения не распределен, так как в нем мыслится только часть лиц, сдавших экзамены, совпадающая со студентами нашей группы.

Таким образом, в общеутвердительных суждениях S распреде­лен, а Р не распределен. Однако в общеутвердительных суждениях, субъект и предикат которых имеют одинаковый объем, распределен не только субъект, но и предикат. К таким суждениям относятся общевыделяющие суждения, а также определения, подчиняющиеся правилу соразмерности.

Суждение Е (Ни одно S не есть Р). «Ни один студент нашей группы (S) не является неуспевающим (Р)». И субъект, и предикат взяты в полном объеме. Объем одного термина полностью исключа­ется из объема другого: ни один студент нашей группы не входит в число неуспевающих, и ни один неуспевающий не является студен­том нашей группы. Следовательно, в общеотрицательных суждени­ях и S, и Р распределены.

Суждение I (Некоторые S суть Р). «Некоторые студенты нашей группы (S) — отличники (Р)». Субъект этого суждения не распре­делен, так как в нем мыслится только часть студентов нашей груп­пы, объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Но и объем предиката лишь частично включается в объем субъекта: не все, а только некоторые отличники — студенты нашей группы.

Следовательно, в частноутвердительном суждении ни S, ни Р не распределены.

Суждение О (некоторые S не суть Р). «Некоторые студенты нашей группы (S) — не отличники (Р)». Субъект этого суждения не распределен, пре­дикат распределен, в нем мыслятся все отличники, ни один из кото­рых не включается в ту часть студентов нашей группы, которая мыслится в субъекте. Следовательно, в частноотрицательном сужде­нии S не распределен, а Р распределен.

В-17

§ 4. Логические отношения между суждениями

Простые суждения

Несравнимыми среди простых являются суждения, имеющие различные субъекты или предикаты. Таковы, например, два суждения: «Среди космонавтов есть летчики»; «Среди космонавтов есть

женщины».

Сравнимьши являются суждения с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой или квантором. Обычно их называют суждениями одинаковой материи. Например: «Все амери­канские индейцы живут в резервациях»; «Некоторые американские индейцы не живут в резервациях».

Отношения между простыми суждениями обычно рассматрива­ются с помощью мнемонической схемы, называемой логическим квадратом. Его вершины символизируют простые катего­рические суждения — А, Е, I, О; стороны и диагонали — отношения между суждениями.

Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые суждения.

К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости: 1) эк­вивалентность (полная совместимость), 2) частичная совмести­мость (субконтрарность) и 3) подчинение.

1. Эквивалентными являются такие суждения, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъ­екты и предикаты, однотипную — утвердительную или отрицатель­ную — связку, одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику. С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются.

2. Частичная совместимость характерна для суждений I u О, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

3. Подчинение имеет место между суждениями А и I, Е и О. Для них характерны следующие две зависимости.

При истинности общего суждения частное всегда будет истин­ным

При ложности частного суждения общее суждение также будет ложным

Отношение несовместимости.

Несовместимыми являются суждения А и Е, А и О, Е и I, которые одновременно не могут быть истинными. Различают два вида несовместимости: противоположность и противоречие.

1. Противоположными (контрарными) являются суждения А и Е, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.

2. Противоречащими (контрадикторными) являются сужде­ния А и О, Е и I, которые одновременно не могут быть ни истин­ными, ни ложными.

Hесовместимые единичные суждения могут находиться лишь в отношении противоречия и не могут находиться в отношении противоположности, ибо каждому от­дельному предмету может быть либо присущ, либо не присущ оп­ределенный признак.

В – 18

§3. Сложные суждения

1. Соединительные (конъюнктивные) суждения.

Соединительным, или конъюнктивным называю суждение, со­стоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «и».

Соединительное суждение может быть как двух-, так и многосо­ставным; в символической записи: р ^ q ^ г ^... ^ n.

В языке соединительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур.

1. Соединительная связка представлена в сложном субъекте по схеме: S1 и S2 есть Р. Например: «Конфискация имущества и лише­ние звания являются дополнительными уголовно-правовыми сан­кциями».

2) Связка представлена в сложном предикате по схеме: S есть P1 и P2. Например: «Преступление — это общественно опасное и про­тивоправное деяние».

3) Связка представлена сочетанием первых двух способов по схеме: S1 и S2 есть P1 и Р2. Например: «С полицмейстером и прокуро­ром Ноздрев тоже был на «ты» и обращался по-дружески» (Н.В. Го­голь).

Соединительное суждение истинно при истинности всех состав­ляющих его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного из них. Условия истинности суждения р ^ q показаны в таблице (рис. 31), где истинность обозначена И, а ложность — Л. В первых двух столбцах таблицы р и q берутся как независимые и принимают поэ­тому все возможные сочетания зна­чений И и Л: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ. В третьем столбце показано значение суждение р л q. Из четырех построч­ных вариантов истинным оно явля­ется лишь в 1-й строке, когда истин­ны оба конъюнкта: и р, и q. Во всех остальных случаях оно ложно: во 2-й и 3-й строках в силу ложности одного из членов, а в 4-й в силу ложности обоих членов.

В – 19

Условные (импликативные) суждения.

Условным, или импликативным, называют суждение, состоя­щее из двух простых, связанных логической связкой «если.., то...». Например: «Если предохранитель плавится, то электролампа гас­нет». Первое суждение — «Предохранитель плавится» называют ан­тецедентом, второе — «Электролампа гас­нет» — консеквентом (последующим). Если антецедент обозначить р, консеквент — q, а связку «если..., то...» знаком «—>», то имплика-тивное суждение символически можно выразить как p—>q.

Условия истинности импликативного суждения показаны в таб­лице. Импликация истинна во всех случаях, кроме одного: