Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 5.   ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ  СИСТЕМ

    Вопрос  о решении систем уравнений высших степеней в общем виде трактуется в курсе высшей алгебры в теории исключения. Однако применение общих правил исключения неизвестных (при помощи результантов) па практике оказывается чрезвычайно громоздким. Поэтому в практике решения систем уравнений высших степеней стараются избежать этих общих правил, а применять различные частные приемы, позволяющие в ряде конкретных случаев упростить процесс решения системы. В задачу курса элементарной алгебры входит лишь установление некоторых частных приемов решения систем алгебраических уравнений высших степеней, наиболее часто встречающихся на практике. 

5.1. Системы, содержащие линейное уравнение.

      Рассмотрим систему 

уравнений с неизвестными х, у в которой уравнение (L) является линейным, прочие же уравнения (F) — алгебраическими степени выше 1.

    Рассмотрим  отдельно линейное уравнение (L).

    Если  уравнение (L) не имеет решений, то и система (L, F) противоречива.

    Если  уравнение (L) имеет единственное решение, то достаточно найденные из (L) численные значения неизвестных подставить в уравнения (F). Если все уравнения (F) удовлетворяются, то решение (L) является единственным решением системы (L, F); если же хотя бы одно из уравнений (F) не удовлетворяется, то система (L, F) не имеет решений.

    Если  уравнение (L) имеет бесконечное множество решений, то формулы общего решения выражает некоторая неизвестная в виде линейной функций от другой неизвестной, последней можно придавать произвольные значения. Пусть, например, из системы (L) неизвестная y выражена через неизвестную х; подставив y в уравнения (F), получим систему m уравнений (по числу уравнений (F)) с неизвестной х. В данном случае решение системы (L, F) сводится к решению системы меньшего числа уравнений с одной неизвестной. Так как неизвестная y являются линейной и функцией от неизвестной х, то при подстановке в уравнения (F) степень каждого из этих уравнений не повысится. Следовательно, получится система уравнений, степени которых не превышают степеней соответственных уравнений первоначальной системы.

    Геометрическая  интерпретация.

    Решение системы уравнений 

геометрически интерпретируется как нахождение точки  пересечения линии () с прямой линией (1). Число этих точек не превышает степени многочлена . 

5.2. Системы, в которых одно уравнение однородное.

    Однородным  уравнением называется уравнение вида:

    f(x, у) = 0

где f(х, у) — однородный многочлен.

    Всякое  однородное уравнение, а также всякая система однородных уравнений, имеет тривиальное решение х=у=0. Существование нетривиальных решений однородных уравнений и систем подлежит специальному исследованию. Если однородное уравнение (или однородная система) имеет нетривиальное решение х = а, у =b, то оно (или система) имеет бесконечное множество нетривиальных решений  х = at, у = bt, где t — неравное 0 число. В самом деле, если система чисел (a, b ) удовлетворяет однородному уравнению (f), то f(a,b)=0, но тогда f(ta,tb) = tⁿf(a,b)=0

при произвольном t. Всякому значению t0 соответствует нетривиальное решение уравнения (системы).

    Рассмотрим  систему (неоднородную): 

где f(x, у) и — однородные многочлены одной и той же степени п и, по крайней мере, одно из чисел а или b отлично от нуля. Эта система не может иметь тривиального решения. Введем новое неизвестное, положив у=tx, этой подстановкой можно найти решения, для которых х0, решения же вида x = 0, y0 (если они существуют) находятся путем непосредственного испытания. Итак, считаем х0; выполнив подстановку у=tx, получим:

    xⁿ(1,t)=a,  х^n(1,t) = b, (1)

    где n - степень данных многочленов. Умножив первое уравнение на b, а второе на а, после вычитания и сокращения на х^п получим уравнение с одним неизвестным t:

    bf(1,t)-a(1,t)=0.

    Для каждого корня этого уравнения  соответствующие значения х и у можно определить, воспользовавшись одним из уравнений (1) и соотношением у = tx.

    Рассмотрим  систему уравнений 

в которой  первое уравнение однородное, а второе неоднородное. Решения, для которых  х=0, находятся непосредственным испытанием. Для нахождения прочих решений системы решаем первое уравнение (при дополнительном условии х0). Применив подстановку у = tx, получим:

    у = t₁x, у = t₂x, . . ., у = t_kx.

    Подставив у = t_ix в уравнение (х, у) = 0, получим уравнение с одним неизвестным х, (х, t_ix) = 0; каждому корню этого уравнения соответствует значение y= t_ix.

    

    Геометрическая  интерпретация. Решение данной системы означает нахождение точек пересечения прямых y=t_ix, изображающих уравнение f(x,у)=0 с линией (х, у)=0.

    Примечание. При решении рассмотренных видов уравнений для нахождения решений, удовлетворяющих условию y0, можно пользоваться подстановкой x=ty.

    В зависимости от удобства можно применять любую из подстановок: или у=tx, или х=ty. 

    Пример:

Решить  систему 

Решение.

Разложим  левую часть первого уравнения  на линейные множители:

(2у  - х) (у + х)=0,

откуда у=-х и х= 2у.

Подставив у=-х в уравнение (2), получим x₁=1. х₂ = 3. Откуда найдем два решения системы: x₁=1, y₁=-1 и x₂ = 3, y₂ =-3.Подставив х=2у в уравнение (2), получим:

y₂+13y+ 3 = 0,

отсюда  найдем еще два решения системы:

       

    5.3 Симметрические системы.

    Многочлен P(x,y), обладающий свойством P(x,y)=P(y,x), называется симметрическим. Многочлены x+y и xy называются элементарными  симметрическими многочленами.

    Рассмотрим  систему уравнений: 

    Пользуясь формулами Виета, составим квадратное уравнение, корнями которого являются и : 

    Найдем  корни t₁,t₂ этого уравнения. Тогда пары (t₁,t₂) и (t₂,t₁) будут решениями системы (1). Убедимся, что других решений система (1) не имеет. В самом деле, если (x₀,y₀) -решение системы (1), т.е. x₀+y₀=U, x₀y₀=V, то многочлен примет вид:

    , и числа  являются корнями уравнения (2).

    Из  курса высшей алгебры известно, что  любой симметрический многочлен  P(x,y) представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов U= x+y, V =xy т.е. P(x,y)= P₁(U, V).

    Рассмотрим  систему уравнений:

                    (3)

где - симметрические многочлены. Представив многочлены из данной системы в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов: P(x,y)= P₁(U, V), . Придем к системе: 

равносильной  системе (3).

    Если  эту систему удастся решить, то решение системы (3) сводится к решению  системы (1).

    Симметрические  многочлены вида называются степенными суммами. При решении симметрических систем часто бывают полезными представления через элементарные симметрические многочлены  

    Примеры: 
 
 
 
 
 

1. Решить  систему:

 

    Пользуясь представлениями для  и , получим

                                                                (4)

    Подставляя  в первое уравнение , придем к уравнению . Следовательно, -2=-8, , V=±2. Для V=2 получим , а для V=-2 найдем . Стало быть, система (4) имеет 4 решения (3,2), (-3,2), (1,-2), (-1,-2).

    Решим соответствующие уравнения (2).

    ;  

    ;  

    ;    

    ;     

    В итоге, исходная система имеет 8 решений:

    .

    Заметим, что с учетом специфики исходной системы (уравнения содержат лишь чётные степени ) достаточно было найти лишь одно из решений (например, (1,2)). 

2. Найти целочисленные  решения системы уравнений

 

Обозначим через α=, β=. Тогда система примет вид:

. 

   V= 

.

    Корнем  этого уравнения является .Остальные корни находятся из уравнения , однако они иррациональны. Итак, , а V=2 и (3,2)- единственное целочисленное решение систем. Найдем решение симметрической системы по решениям квадратного уравнения . Корнями этого уравнения являются ; и система имеет два решения: (2,1), (1,2). Таким образом,    .

С учетом симметричности исходной системы . 

    5.4 Однородные системы.

    Определение. Система двух уравнений с двумя неизвестными, левые части которых – однородные многочлены степени n от двух переменных, называется однородной.

    Однородная  система имеет вид:

                   (1)

    Однородные  системы решаются комбинацией двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных. 

    Метод линейного преобразования (метод  алгебраического  сложения) основан  на теореме:

Если , то система

равносильна системе . 

    Метод подстановки основан  на теореме:

Система уравнений 

равносильна системе .

    Если  в системе (1) c=d=0, то пара чисел (0,0) является решением этой системы.