Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными

называется  выражение 

где a₁, a₂, ..., a_n –корни многочлена.  

Свойства  результанта:

1. где корни многочлена g(x).
2.                                            (3)

Поскольку (x)=b_m(x-γ₁) (x-γ₂)… (x-γ_m),

то ;

поэтому           

3.                                                                (4)

     Применяя  формулу (3) к результанту , т.е. меняя роли и , получаем:

     .

     Изменим знаки в скобках на противоположные, т.е. вынесем в каждом множителе  за скобки число -1. Учитывая, что число  множителей равно mn, получим:

     .

4. Теорема. Для того чтобы многочлены f(x) и g(x) имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы их результант был равен нулю.

 

     Необходимость условия. Если некоторый корень α_i многочлена f(x) является также корнем многочлена g(x), то g(α_i) = 0. Тогда в результанте 

один  из множителей равен нулю, и потому = 0.

     Достаточность условия. Если = 0, т.е. , то хотя бы один из множителей в левой части этого равенства равен нулю. Поскольку 0, то равен нулю хотя бы один из остальных множителей, например. Но это и означает, что корень многочлена f(x) одновременно является корнем многочлена g(x), т. е. заданные многочлены имеют общий корень. 

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы существенно использовано неравенство нулю коэффициента. Если бы 0, но b_m то теорема оставалась бы верной, но пришлось бы рассматривать результант . 

5. Вычисление  в форме определителя Сильвестра:

 
 

    Теорема 1. Для того чтобы многочлены f(x) и g(x) имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы их результант был равен нулю.

    Теорема 2. Если результант многочленов f(x) и g(x) равен нулю, то либо многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень, либо старшие коэффициенты обоих многочленов равны нулю.

    Теорема 3. Если многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень, то их результант равен нулю. 

    Пример. Найти результант следующих многочленов:

    , .

Если  обозначить корни через α₁ и α₂, то

==.

Произведя преобразования, получим 

Но по формулам  Виета =, ; поэтому

. 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ

    Пусть дана система двух алгебраических уравнений  с двумя неизвестными. Левые части  этих уравнений f(x, у) и g(x, у) являются многочленами от х и у над полем Р, расположим их члены по степеням одного из неизвестных, например х: 

    Предположим, что пара (α,β) есть решение системы (6), т. е. f(α,β)=0, g(α,β)=0

    Понятно, что из системы (1) можно образовать целый ряд выводных уравнений, для которых (α,β) также будет решением. Естественно поставить вопрос о построении такой системы выводных уравнений, которую можно было бы сравнительно легко решить и тем самым найти решения и исходной системы. Конечно, желательно, чтобы выводные уравнения не имели бы кроме нужных нам решений системы (1) других, лишних решений. В частности, целесообразно построить для системы (1) такое выводное уравнение, которое содержало бы лишь одно неизвестное (т. е., как говорят, исключить другое неизвестное) и корни которого вполне определили бы решения заданной системы.

    Подставляя в уравнения системы (1), имеющей решение (α,β), значение у=β, получим два уравнения с одним неизвестным: 

причем х=α является общим корнем этих уравнений. Поскольку два наугад взятые уравнения с одним неизвестным, вообще говоря, общих корней не имеют, то уравнения системы (2), имеющие общий корень, не могут быть независимыми, между их коэффициентами должна быть некоторая связь. Если мы найдем эту зависимость между коэффициентами _i(β), _i(), т. е. некоторое соотношение

    R[]=0,

то тем  самым получим и соответствующее  уравнение

    R[]=0,

    которое должно удовлетворяться при у=β, чтобы пара (α,β) могла быть решением системы.

    Таким образом, прежде всего необходимо решить следующую задачу.

    Пусть дана система двух уравнений с одним неизвестным:  

    Требуется найти, при каких условиях эти уравнения могут иметь общие корни.

    Заметим, что между системами (3) и (2) имеется  некоторое различие. При рассмотрении системы (3) естественно считать, что , , тогда как в системе (2), полученной из (1) при у=β, некоторые из коэффициентов и, в частности, старшие коэффициенты и могут оказаться равными нулю, хотя соответствующие многочлены и отличны от нулевого.

    Замечания. Изучение свойств многочленов f(x) от одной переменной непосредственно связано с решением алгебраических уравнений вида f(x)=0, поскольку корни этого уравнения и корни многочлена f(x) - это одно и то же.

    В случае многочлена f(x₁, х₂, ..., х_n) от нескольких переменных можно также рассматривать соответствующее уравнение

    f(x₁, х₂, ..., х_n) = 0        (4)

с неизвестными x₁, х₂, ..., х_n. Вместо термина корень многочлена f(x₁, х₂, ..., х_n) или уравнения (4) употребляют термин решение. А именно, если f(x₁, х₂, ..., х_n) Р[x₁, х₂, ..., х_n], а - любое расширение поля Р, то решением уравнения (1) или многочлена f(x₁, х₂, ..., х_n) называют упорядоченную систему а₁, а₂, …, a_n  элементов поля такую, что при x₁=а₁, х₂ = а₂, ..., х_n=а_n соответствующее значение f(а₁, а₂, …, a_n) данного многочлена равно нулю.

    Если  Р - поле характеристики 0, то легко установить существование решения любого уравнения вида (4) (при degf) в поле Р или некотором его расширении. Для этого достаточно упорядочить члены f(x₁, х₂, ..., х_n) по степеням одной из переменных (относительно которой степень многочлена окажется ненулевой), например х_n,

                            f(x₁, х₂, ..., х_n-1, х_n)=a_m(x₁, х₂, ..., х_n-1)+…

    …+ a₁(x₁, х₂, ..., х_n-1)+ a₀(x₁, х₂, ..., х_n-1),        (5)

выбрать в P произвольные значения x₁=а₁, х₂ = а₂, ..., х_n-1=а_n-1, при которых a_m(a₁, a₂, ..., a_n-1)(такие значения обязательно найдутся, т. к. многочлен a_m(x₁, х₂, ..., х_n-1) отличен от нуль-многочлена), подставить их в коэффициенты многочлена (5) и получить многочлен:

    a_m(a₁, a₂, ..., a_n-1)+…+ a₁(a₁, a₂, ..., aх_n-1)+ a₀(a₁, a₂, ..., a_n-1)

от одной  переменной х_n степени mнад полем Р. По теореме Кронекера этот многочлен имеет корень a_n в поле Р или в некотором его расширении. Но тогда a₁, a₂, ..., a_n-1, a_n - решение уравнения (4).

    Будем считать, что все рассматриваемые  многочлены заданы над полем характеристики 0.

    Приведенные рассуждения показывают, что любой  многочлен ненулевой степени  от n переменных имеет решения. Но из этих рассуждений понятно, что при n≥2 имеется бесконечное множество таких решений: ведь выбрать a₁, a₂, ..., a_n-1Р так, чтобы a_m(a₁, a₂, ..., a_n-1)≠0 можно бесконечным числом способов (напомним, что поле Р имеет характеристику 0 и потому бесконечно). Таким образом, задача решения уравнения (1) при n≥2 (в отличие от случая n=1) является по существу неопределенной.

    Более естественной, распространенной и практически  применимой является задача решения системы алгебраических уравнений вида 

т. е. отыскание общих решений многочленов (k=1,2,3…, m).

  В случае многочленов любых степеней построить общую теорию достаточно сложно. В основе существующих методов решения системы (6) лежит идея исключения неизвестных, целью которого является сведение задачи к решению одного алгебраического уравнения с одним неизвестным. Именно потому этот раздел алгебры называют теорией исключения. 

    Эту идею объясню на простом примере  из школьного курса математики.

Пример.

    Нужно решить систему двух уравнений с  двумя неизвестными:

       (4)

Чтобы найти решения системы (4), исключим каким-нибудь способом из двух данных уравнений одно из неизвестных и  построим выводное уравнение с одним  неизвестным. Например, найдем х из второго уравнения и подставим найденное выражение в первое уравнение. Получим х = ; - а = 0, или

y⁴-ay²+b² = 0 (5)

    Итак, решение системы двух уравнений  с двумя неизвестными свелось  к решению одного уравнения (5) с  одним неизвестным. В данном случае выводное уравнение биквадратное, и его можно решить элементарно. Корнями уравнения (5) являются числа:

    β_1,2=        β_3,4=

       

Подставляя  вместо у каждое из значений β_i(i=1,2, 3, 4) в одно из уравнений системы (4), получим соответствующее значение неизвестного х:

a_1,2=;   a_3,4=.

Процесс решения системы (4) можно описать  так. Назовем левую часть, уравнения (5), полученного в результате исключения одного неизвестного из уравнений системы (4), результантом и обозначим его  символом R(f, g), т. е.

R(f, g)

Решение системы (4) сводится к следующему. Для  заданных многочленов f(x,у) и g(x, у) строят результант R(f, g), являющийся многочленом от одной переменной. Далее находят корни результанта. Наконец, зная эти корни, вычисляют решения заданной системы.

    В случае произвольной системы из двух уравнений с двумя неизвестными:

      (6)

ход рассуждений  остается таким же. Решение сводится к построению результанта многочленов и и отысканию его корней.  

    Алгоритм  решения системы двух уравнений  с двумя неизвестными:

1. Представить систему (6) в форме (1), т.е. упорядочить левые части уравнений по степеням одного неизвестного.
2. Составить результант и найти его корни β_к (k=).
3. Корень результанта β_к подставить в многочлены системы, получим многочлены от одного неизвестного.
4. Подставить найденное значение β_к в систему и найти соответственные значения α_к
5. Составить пары (α_k1, β_к), (α_k2, β_к),…, (α_ke, β_к). Эти пары являются решениями заданной системы уравнений, соответствующими корню результанта.