Решение систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ……………………………………………….….5

§2. РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ………………………..6

§3. РЕЗУЛЬТАНТ………………………………………………………………12

§4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИСКЛЮЧЕНИЯ………………………………15

§5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ…………………………..21

1. Системы, содержащие линейное уравнение. ………………………….21
2. Системы, в которых одно уравнение однородное……………………..22
3. Симметрические системы……………………………………………….24
4. Однородные системы……………………………………………………27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...32

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………...33 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ВВЕДЕНИЕ

    Многие  теоретические и практические вопросы  приводят не к одному уравнению, а  к целой системе уравнений  с несколькими неизвестными. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями  которых можно пренебречь, так  что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к  линейным. Не менее важно, что решение  систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном  решении разнообразных прикладных задач. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих  общие понятия и методы для  всей математики. Для современной  алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Способы решения  систем линейных уравнений – очень  интересная и важная тема. Системы  уравнений и методы их решения  рассматриваются в школьном курсе  математики.

      Необходимость в решении систем  нелинейных уравнений возникает  как самостоятельная задача при  моделировании нелинейных объектов, а также как промежуточный  этап при решении ряда других  задач, например, при решении систем  обыкновенных дифференциальных  уравнений неявными методами  или при решении нелинейных  краевых задач.

    В общем виде задача решения системы  нелинейных уравнений ставится так: найти вектор, превращающий систему уравнений

    

    где - нелинейные функции от, в тождество.

    Все численные методы решения нелинейного  уравнения исходят из того, что  решение либо единственно во всей области, либо требуемое решение  лежит в известной области. При  решении практических задач такая  информация обычно поступает от постановщика задачи, который может примерно характеризовать  область предполагаемого решения.

      Цель моей работы заключается  в том, чтобы систематизировать  знания о решении систем нелинейных  уравнений. 

    Для достижения цели необходимо выполнить  следующие исследовательские задачи: изучить учебную, методическую, научную литературу; классифицировать системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными; изучить методы решения и проиллюстрировать их применение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    §1  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

    Определение. Уравнением называется равенство 

выражающее следующее суждение: значение функции равно значению функции

    Определение. Система чисел (a, b, …,c) называется решением уравнения , если значения функций и при x=a, y=b,…, z=c равны

    Определение. Системой k уравнений с неизвестными называется множество k равенств 

выражающих следующие  суждение: при данной системе значений неизвестных удовлетворяется каждое из заданных уравнений.

    Определение. Системы

           (F)

      (Ф)

с одними и теми же неизвестными х, у называются равносильными над некоторым числовым полем, если множество всех решений в данном числовом поле первой системы и множество всех решений второй системы в том же числовом поле одинаковы. 
 
 
 
 

§2  РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

    Несколько уравнений с переменными x,y образуют систему, если ставится вопрос об отыскании такой совокупности (x,y), которая удовлетворяет каждому из заданных уравнений. Каждая такая совокупность называется решением системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения. Множество решений системы может быть пустым – в этом случае говорят, что система не имеет решений или что эта система несовместна.

    Процесс решения системы уравнений состоит, как правило, в последовательном переходе с помощью некоторых  преобразований от данной системы к  другой, более простой.

    Если  в результате некоторых преобразований системы 

мы перешли  к системе 

и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1).

    Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадает. Ясно, что две системы равносильны  тогда и только тогда, когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй.

    Пусть дана система n уравнений 

с неизвестными х,у.  Рассмотрим систему, которую образуют некоторые k (где k < n) уравнений, выбранные из системы (F_n). Для определенности рассмотрим систему, образованную k первыми уравнениями данной системы (F_n):

                                                           

рассмотрим  также вторую систему, образованную оставшимися уравнениями:

                                       

    Теорема 1.  Если система уравнений

                                                               

равносильна системе (F_k), то система уравнений

                                                    (Ф,F)

равносильна системе (F_n). 

    Иными словами, любое множество уравнений, входящих в состав системы, можно  заменить другими уравнениями при  условии, что заменяемые и заменяющие уравнения образуют эквивалентные системы.

    Доказательство. Всякое решение системы (), будучи решением каждого из уравнений есть решение как системы (F_k), так и системы _{. Обратно, всякое решение, общее системам} (F_k) и _, есть решение, общее для всех уравнений, входящих в систему (), а потому является решением этой последней системы. Иными словами, множество всех решений системы () есть общая часть множеств всех решений системы (F_k) и системы _{. При замене уравнений} (F_k) уравнениями () решения системы (F_k) остаются неизменными, в силу равносильности систем (F_k) и (). Следовательно, системы () и (Ф,F) имеют одно и то же множество решений, ч.т.д.

     В частности, всякое уравнение, входящее в состав системы уравнений, можно заменить равносильным уравнением. 

    Пример. Так как система уравнений   равносильна системе ;

    то  система  равносильна системе . 

    Теорема 2. Если какое-либо из уравнений, содержащихся в системе, есть следствие прочих уравнений (той же системы), то это уравнение может быть отброшено.

    Доказательство. Пусть, например, последнее уравнение системы 

есть  следствие предыдущих (или некоторых  из предыдущих); требуется доказать, что система (F_n) эквивалентна системе 

    В самом деле, всякое решение системы (F_n-1) есть решение системы (F_n), так как уравнение F_n= F'_n будучи следствием уравнений (F_n-1), удовлетворяется произвольным решением системы уравнений (F_n-1). Обратно, всякое решение системы (F_n) есть решение системы (F_n-1), так как всякое решение системы (F_n) есть решение общее для всех уравнений (F_n-1), ч.т.д.

                                                 

   Пример. Система   равносильна системе , так как уравнение есть следствие уравнения . 

    Теорема 3. Всякое уравнение системы, удовлетворяющееся тождественно, может быть отброшено.

    Доказательство. Пусть, например, , требуется доказать, что системы (F_k) и _{равносильны. В самом деле, всякое решение системы есть решение системы} (), так как уравнение удовлетворяется тождественно. Обратно, всякое решение системы () есть решение системы , содержащей меньшее число уравнений, ч.т.д. 

    Пример. Система ;

равносильна системе ;

так как  . 

    Теорема 4. Если уравнение является следствием уравнений , то системы

      и  

являются  следствиями системы    (*)

и система , равносильна .

В частности  следствием системы (*) будут следующие  системы: 
 
 
 

                       ;                   ; 

    Теорема 5. Система уравнений и  

равносильны, если каждый из «диагональных» множителей отличен от нуля.

    Множители могут быть числами, либо функциями от неизвестных, в последнем случае условие теоремы требует, чтобы каждый из множителей был отличен от нуля при всех допустимых значениях неизвестных.

    Доказательство. Всякое решение системы есть решение системы , так как при всяких значениях неизвестных, при которых функции , обращаются в нуль (каждая), обращаются в нуль и левые части всех уравнений системы .

    Обратно, всякое решение системы  есть решение системы . В самом деле, пусть при некоторых значениях неизвестных обращаются в нуль и левые части . Если то второе равенство системы принимает вид но так как , то Далее, из равенства и из третьего равенства следует, что , откуда и т.д. и из равенств вытекает , откуда . Итак, всякое решение системы есть решение системы . Следовательно система равносильна системе , ч.т.д.

    В частности ;     и     равносильны.

    Системы ;     

равносильны системе  

    Пример. Системы   

    равносильны, так как 1≠0, 4≠0, 1≠0.

    Теорема 6. Система равносильна совокупности систем . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    §3  РЕЗУЛЬТАНТ

    Определение. Результантом многочленов 

                                                                                                  , )

                                 (1)